Способы задания топологии

ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ

Пусть - некоторое непустое множество. Топологией в называется любое семейство подмножеств , обладающее следующими свойствами:

и пустое множество принадлежат ;

объединение любого семейства множеств из принадлежит ;

пересечение любого конечного семейства множеств из принадлежит .

Множество , наделенное топологией , называется топологическим пространством, а множества, входящие в семейство , - открытыми множествами. Отметим, что других открытых множеств (не входящих в семейство ) в топологическом пространстве не существует. Топологическое пространство в дальнейшем будем обозначать в виде пары или, если это не вызовет недоразумений, просто одной буквой .

Приведем некоторые примеры топологических пространств.

Пример 1.1 (дискретная топология). Пусть - некоторое непустое множество и - семейство всех подмножеств , т.е. . Ясно, что является топологией на ; она называется дискретной топологией.

Пример 1.2 (антидискретная топология). Пусть - некоторое непустое множество и . Ясно, что является топологией на ; она называется антидискретной топологией.

Пример 1.3 (топология Зарисского). Пусть - некоторое бесконечное множество (например, отрезок числовой прямой, где ). Обозначим через семейство, состоящее из пустого множества , самого множества и из всевозможных множеств , чьи дополнения являются конечными множествами. Легко проверить, что удовлетворяет аксиомам - , поэтому является топологией на . Эта топология называется топологией Зарисского; она нередко применяется в контрпримерах.

Окрестностью точки в топологическом пространстве называется всякое множество, которое содержит некоторое открытое множество, содержащее точку . Аналогично определяется и окрестность множества - это любое множество, которое содержит некоторое открытое множество, содержащее . Справедлива следующая важная

Лемма 1.1. Для того чтобы множество в топологическом пространстве было открытым, необходимо и достаточно, чтобы оно было окрестностью каждой своей точки.

Доказательство. Необходимость очевидна.

Достаточность. Пусть является окрестностью каждой своей точки и - объединение всех открытых множеств, содержащихся в . Тогда . Пусть . Так как является окрестностью точки , то существует такое открытое множество , что . По определению множества получаем . Следовательно, , т.е. . Таким образом, и осталось лишь заметить, что множество является открытым. #

рь получаем, что жество ств в виде объединения некоторого набора множеств из ии:ранства Обозначим через семейство всех окрестностей точки в топологическом пространстве . Не вдаваясь в подробности, в дальнейшем будем называть фильтром окрестностей точки . Лемму 1.1 очевидно можно сформулировать следующим образом:

тогда и только тогда, когда для любого .

Пусть - некоторое непустое множество в топологическом пространстве . Точка называется внутренней точкой множества , если является окрестностью точки . Совокупность всех внутренних точек множества называется его внутренностью и обозначается . Следующая лемма сразу же следует из данного определения:

Лемма 1.2. Множество открыто тогда и только тогда, когда .

Лемма 1.3. Внутренность является наибольшим (возможно пустым) открытым множеством, содержащимся в .

Доказательство. Сначала докажем, что множество является открытым. Пусть и . Так как множество является окрестностью точки , то существует такое открытое множество , что . По лемме 1.1 множество является окрестностью каждой своей точки, поэтому . Но тогда множество является окрестностью каждой своей точки, т.е. оно открыто.

Пусть теперь некоторое открытое множество и . Тогда, очевидно, . #

Задание топологии на (т.е. описание всех открытых в множеств) нередко оказывается весьма затруднительным. В действительности нет необходимости знать все открытые множества в . Для этого вводится понятие базы топологии. Совокупность открытых множеств топологического пространства называется базой топологии, если всякое непустое открытое множество в является объединением некоторого семейства множеств из . Очевидно, любая база топологии однозначно определяет топологию пространства, поэтому представляет большой интерес следующий критерий базы топологического пространства :

Теорема 1.1. Семейство открытых множеств является базой топологии в том и только том случае, когда для любой точки и любого содержащего открытого множества найдется такое множество , что .

Доказательство. Предположим сначала, что является базой топологии и . Если - открытое множество в и , то по определению базы для некоторого семейства множеств . Тогда для некоторого индекса .

Обратно, пусть семейство удовлетворяет условиям теоремы и . Для каждой точки найдется такое множество , что . Тогда , так что является базой для . #

Из теоремы 1.1 легко вытекают следующие свойства базы топологии :

объединение всех множеств, входящих в , совпадает с ;

для любых двух множеств и каждой точки существует множество такое, что .

Оказывается, что эти два свойства полностью характеризуют базу любой топологии. А именно, справедлива следующая теорема, открывающая новый способ задания топологии:

Теорема 1.2. Если во множестве задана некоторая система его подмножеств, обладающая свойствами и , то в существует, и притом единственная, топология , одной из баз которой будет система .

Доказательство. Обозначим через семейство, состоящее из пустого множества и всех тех подмножеств , каждое из которых представимо в виде объединения некоторого набора множеств из . Ясно, что удовлетворяет аксиомам и . Проверим справедливость аксиомы . Пусть , и , где и - некоторые множества из . Тогда

.

Покажем, что каждое из множеств принадлежит . Пусть . По свойству существует такое множество , что . Следовательно, , т.е. . Так как обладает свойством , то теперь получаем, что . Применяя теперь метод математической индукции, получаем, что обладает свойством , т.е. является топологией на , а является ее базой.

Единственность топологии вытекает из того очевидного факта, что две топологии, имеющие одну и ту же базу, обязаны совпадать. #

Рассмотрим еще один способ задания топологии – посредством фильтра окрестностей точек. Множества, образующие фильтр окрестностей, обладают следующими свойствами:

всякое подмножество множества , содержащее какое-нибудь множество из , принадлежит ;

пересечение конечного числа множеств из семейства принадлежит ;

точка принадлежит каждому множеству семейства ;

для любого существует такое , что для любой точки .

Действительно, справедливость свойств и не вызывает сомнения: они являются непосредственными следствиями определения окрестности точки. Свойство вытекает из того факта, что пересечение конечного числа открытых множеств, содержащих точку , есть открытое множество, содержащее . Свойство получается на основании леммы 1.1: в качестве множества можно взять любое открытое множество, содержащееся в и содержащее точку .

Весьма важно, что свойства - множества являются характеристическими. А именно, имеет место

Теорема 1.3. Если каждой точке множества поставлено в соответствие непустое семейство подмножеств так, что при этом имеют место свойства - , то в существует, и притом единственная, топология , для которой является фильтром окрестностей каждой точки .

Доказательство. Если требуемая топология существует, то по лемме 1.1 множеством всех непустых открытых множеств в ней обязано быть семейство всех таких множеств , что для любого . Это гарантирует единственность искомой топологии.

Докажем теперь существование искомой топологии. Для этого рассмотрим введенное выше семейство и положим . Тогда и , так как по свойству для любого . Следовательно, аксиома для выполнена.

Далее, если множества , и , то для некоторого индекса . Поэтому (по определению семейства ). Следовательно, и . Это означает, что , так что аксиома также выполняется.

Наконец, если (где ), и , то для любого . Следовательно, для каждого номера . Отсюда (по свойству ), так что . Таким образом, и аксиома выполнена. Тем самым доказано, что является топологией .

Остается убедиться лишь в том, что является фильтром окрестностей каждой точки в топологии . Действительно, из определения окрестности точки и свойства следует, что всякая окрестность точки в топологии принадлежит семейству . Докажем, что верно и обратное утверждение: каждое множество является окрестностью точки в топологии . Для этого положим . Если мы покажем, что , и , то это и будет означать, что является окрестностью точки . Заметим, что , так как . Пусть теперь . Тогда , так что по свойству . Следовательно, . Осталось показать, что , т.е. что для любой точки . Действительно, пусть . Тогда , поэтому по свойству найдется такое множество , что для любого . Но соотношение означает, что , так что . По свойству теперь получаем, что . #

В действительности даже нет надобности знать полностью фильтры окрестностей точек топологического пространства, так как нередко существуют достаточно простые подсемейства в , которые определяют . А именно, базисом фильтра окрестностей точки в топологическом пространстве называется любое семейство , содержащееся в и обладающее тем свойством, что для любой окрестности найдется такая окрестность , что . Очевидно, семейство всех открытых окрестностей любой точки образует базис фильтра окрестностей этой точки. Понятие базиса фильтра окрестностей точки позволяет упростить конструкцию задания топологии, приведенную в теореме 1.3:

Следствие. Пусть для каждой точки множества задано такое непустое семейство подмножеств , что выполняются свойства:

точка принадлежит каждому множеству семейства ,

если , то существует такое , что ,

если и , то существует такое , что .

Тогда существует, и притом единственная, топология на , в которой является базисом фильтра открытых окрестностей каждой точки .

Доказательство. Для каждого обозначим через совокупность всех таких множеств , что для некоторого . Легко видеть, что для семейства выполняются аксиомы - . Далее, если , то существует такое , что . Если , то по свойству найдется такое множество , что . Следовательно, для каждого . Это означает, что удовлетворяет и аксиоме . Таким образом, по теореме 1.3 существует единственная топология на , для которой является фильтром всех окрестностей любой точки , а будет тогда базисом этого фильтра. Из леммы 1.1 и свойства следует также, что каждое семейство состоит лишь из открытых множеств. #

Приведенный способ задания топологии с помощью базисов фильтров окрестностей имеет большое практическое значение. Проиллюстрируем это на одном важном примере.

Пример 1.4 (Метрическое пространство). Как известно, метрическим пространством называется пара , образованная некоторым множеством и функцией , удовлетворяющей следующим аксиомам:

для всех точек ;

тогда и только тогда, когда ;

для всех (аксиома симметрии);

для всех (аксиома треугольника).

Функция называется метрикой, а число - расстоянием между точками и . Далее, множество

называется открытым шаром, точка - центром шара, а число - его радиусом. Легко видеть, что для каждой точки семейство

удовлетворяет условиям следствия теоремы 1.3 (в частности аксиома проверяется так: если и , то для и будет и ). Поэтому существует однозначно определяемая топология в метрическом пространстве , для которой семейство является базисом фильтра окрестностей каждой точки , состоящим из открытых множеств. Эта топология обычно называется канонической топологией метрического пространства; она позволяет метрическое пространство рассматривать и как топологическое. Именно тем обстоятельством, что является базисом фильтра окрестностей точки , и объясняется та особая роль, которую играют открытые шары в теории метрических пространств. Отметим также, что семейство

является одной из баз канонической топологии метрического пространства.

Пример 1.5 (правая топология на числовой прямой). По следствию теоремы 1.3 семейства

являются базисами фильтра открытых окрестностей каждой точки . Задаваемая этими базисами топология , называется правой топологией на .

Пример 1.6 (правая стрелка на числовой прямой). Из теоремы 1.2 вытекает, что совокупность

является одной из баз для некоторой топологии на числовой прямой. Эту топологию принято называть правой стрелкой.

В заключение параграфа остановимся на связи между базами топологии и базисами окрестностей точек.

Лемма 1.4. Для того чтобы семейство открытых множеств топологического пространства было базой его топологии, необходимо и достаточно, чтобы для любого множество было базисом окрестностей точки .

Доказательство. Необходимость. Пусть - база топологии, и - некоторая окрестность точки . Тогда для некоторого открытого множества . По определению базы топологии множество можно представить в виде объединения некоторого семейства множеств из , поэтому для некоторого множества такого, что . Следовательно, и , так что является базисом окрестностей точки .

Достаточность. Если условие леммы выполнено, то для любого открытого множества и любой точки существует такое открытое множество , что . Тогда , так что будет базой топологии. #