Хаусдорфовые топологические пространства

Достижимые пространства имеют не столь большое практическое значение. Более совершенной структурой обладают топологические пространства, удовлетворяющие второй аксиоме отделимости: топологическое пространство называется хаусдорфовым (или пространством), если для любых точек , , существуют такие их окрестности и , что . Топология пространства называется хаусдорфовой или отделимой топологией. Каждое хаусдорфовое топологическое пространство является, очевидно, достижимым. Обратное утверждение, вообще говоря, не верно. Примером достижимого топологического пространства, которое не является хаусдорфовым, является любое бесконечное множество, наделенное топологией Зарисского (см. пример 1.3).

Установим важнейшие свойства хаусдорфовых пространств.

Теорема 7.1. Следующие утверждения эквивалентны:

1) - хаусдорфовое топологическое пространство;

2) пересечение всех замкнутых окрестностей произвольной точки состоит из одной лишь точки ;

3) предел каждой сходящейся направленности единственен.

Доказательство. . Пусть и . По определению хаусдорфовой топологии найдутся такие открытые окрестности и точек и , что . Так как , то - это замкнутая окрестность точки , не содержащая точку . Следовательно, пересечением всех замкнутых окрестностей точки является одноточечное множество .

. Предположим, что существует такая направленность в и точки , что , и . По условию найдется замкнутая окрестность точки такая, что . Так как - это окрестность точки , то по определению предела, примененному к окрестностям и , найдутся такие индексы и в , что для всех и для всех . Возьмем индекс так, чтобы и . Тогда и для всех , что невозможно, так как .

. Предположим, что пространство не является хаусдорфовым. Тогда найдутся такие точки , что и для всех и . Введем в рассмотрение множество

.

Положим тогда и только тогда, когда и . Легко проверить, что - это направленное вверх частично упорядоченное множество. Для каждого элемента возьмем по некоторой точке . Тогда - это направленность в . Пусть и . Так как и для всех индексов , то это означает, что и . #

Следствие 1. Пусть , - топологические пространства, причем хаусдорфовое. Если отображения непрерывны, то множество замкнуто в .

Доказательство. Пусть . По теореме 2.2 найдется такая направленность , что . По теореме 4.1 и . Так как для всех индексов , то по теореме 7.1 . Следовательно, . Этим и доказана замкнутость множества . #

Напомним, что множество называется всюду плотным в , если . Следующее утверждение часто называют принципом продолжения тождеств.

Следствие 2. Пусть и - непрерывные отображения топологического пространства в хаусдорфовое топологическое пространство . Если равенство имеет место во всех точках некоторого всюду плотного в пространстве множества , то (т.е. для всех точек ).

Доказательство. Пусть . Тогда . По следствию 1 множество замкнуто в , поэтому . Итак, и, значит, для всех точек . #

Доказанные утверждения наводят на мысль, что свойство хаусдорфовости топологических пространств «отвечает» за единственность тех или иных математических объектов (по крайней мере тех объектов, которые могут быть получены с помощью предельного перехода). Остановимся теперь на свойствах подпространств, факторпространств и тихоновских произведених хаусдорфовых топологических пространств.

Лемма 7.1. Любое подпространство хаусдорфового топологического пространства является хаусдорфовым.

Доказательство. Данное утверждение очевидно вытекает из того факта, что окрестности точек в подпространстве являются следами на окрестностей этих же точек в пространстве . #

Пусть «~» - отношение эквивалентности на топологическом пространстве и . Множество называется насыщенным по «~», если с каждой точкой множество содержит и весь класс эквивалентности этой точки . Имеет место следующий критерий хаусдорфовости факторпространства :

Теорема 7.2. Для того чтобы факторпространство было хаусдорфовым, необходимо и достаточно, чтобы любые два различных класса эквивалентности и в имели непересекающиеся, открытые, насыщенные по «~» окрестности и .

Доказательство. Необходимость. Пусть факторпространство является хаусдорфовым и , - два различных класса эквивалентности в . Положим для , где обозначает каноническое факторотображение. Тогда и , поэтому найдутся такие открытые в фактортопологии окрестности и точек и , что . Положим . Так как и для , то по теореме 5.2 - это открытые, насыщенные по «~» окрестности классов , причем .

Достаточность. Пусть и . Положим . Так как и - это два различных класса эквивалентности в , то по условию теоремы существуют такие их открытые, насыщенные по «~» окрестности и в , что . Тогда будут открытыми окрестностями точек , причем . Следовательно, факторпространство является хаусдорфовым. #

Рассмотрим теперь произведения топологических пространств. Имеет место следующий критерий хаусдорфовости тихоновского произведения топологических пространств.

Теорема 7.3. Произведение семейства топологических пространств является хаусдорфовым в том и только том случае, когда каждое пространство - хаусдорфовое.

Доказательство. Предположим сначала, что - хаусдорфовое. Пусть и точки таковы, что . Для каждого индекса , , выберем по некоторой точке и положим и , где для любого индекса . Тогда , поэтому по условию хаусдорфовости тихоновской топологии на найдутся такие индексы и окрестности точек в и индексы и окрестности точек в , что , где , а . Нетрудно понять, что для некоторых индексов и , где и , причем . Следовательно, пространство является хаусдорфовым.

Обратно, пусть теперь все пространства являются хаусдорфовыми, и . Тогда найдется такой индекс , что . Выберем окрестности и точек и в пространстве так, чтобы . Тогда и - это окрестности точек и в и . Следовательно, пространство - хаусдорфовое. #

Важный класс хаусдорфовых пространств доставляет

Лемма 7.2. Каждое метрическое пространство является хаусдорфовым топологическим пространством.

Доказательство. Пусть и . Тогда , где . #