Непрерывные отображения топологических пространств

Изучим теперь некоторые элементарные свойства непрерывных отображений, действующих в топологических пространствах. Пусть и - некоторые топологические пространства. Отображение называется непрерывным в точке , если для любой окрестности точки в найдется такая окрестность точки в , что . Заметим, что соотношение равносильно включению , где обозначает прообраз множества при отображении . Поэтому справедлива

Лемма 4.1. Отображение топологического пространства в топологическое пространство непрерывно в точке тогда и только тогда, когда прообраз каждой окрестности точки является окрестностью точки .

В действительности для непрерывности отображения в точке достаточно потребовать, чтобы прообраз был окрестностью для всех множеств из некоторого (а значит любого) базиса фильтра окрестностей точки .

Из леммы 4.1 следует, что композиция непрерывного в точке отображения с непрерывным в точке отображением непрерывна в точке

Следующая теорема характеризует свойство непрерывности в терминах предела и является в некоторой степени аналогом известной из курса анализа теоремы Гейне.

Теорема 4.1. Отображение непрерывно в точке тогда и только тогда, когда для любой направленности такой, что , выполняется: .

Доказательство. Пусть отображение непрерывно в точке , и - некоторая окрестность точки . По непрерывности найдется такая окрестность точки , что . По определению предела направленности существует такой индекс , что для всех . Следовательно, для любого , а это означает, что .

Для доказательства обратного утверждения предположим, что не является непрерывным в точке . Значит существует такая окрестность точки , что ни для какой окрестности точки . Пусть – некоторый базис фильтра окрестностей точки . Из сказанного выше следует, что для каждого множества существует такая точка , для которой . Если теперь упорядочить множество по антивключению ( тогда и только тогда, когда ), то мы получим направленность , сходящуюся к точке . Однако, направленность к точке сходиться не будет. #

Если топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, то в качестве базиса фильтра окрестностей любой точки можно взять счетный базис , элементы которого расположены по убыванию: Поэтому, анализируя доказательство теоремы 4.1, мы приходим к убеждению, что справедливо

Следствие. Пусть и - топологические пространства, причем удовлетворяет первой аксиоме счетности. Для того чтобы отображение было непрерывным в точке , необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности , сходящейся к точке , выполнялось: .

Отображение , непрерывное в каждой точке , называется непрерывным на (или просто непрерывным). Для непрерывных на всем пространстве отображений имеет место следующая

Теорема 4.2. Пусть , - топологические пространства и - некоторое отображение. Следующие утверждения эквивалентны:

1) отображение непрерывно на ;

2) прообраз любого открытого множества из является открытым множеством в ;

3) прообраз любого замкнутого множества из является замкнутым множеством в .

Доказательство. . Пусть - некоторое открытое множество в и . Тогда , поэтому из условия непрерывности отображения по лемме 4.1 отсюда следует, что множество является окрестностью точки . По лемме 1.1 это означает, что множество является открытым в .

. Пусть - некоторое замкнутое множество . Тогда множество является открытым, поэтому по условию множество

открыто в . Следовательно, множество

замкнуто в .

. Пусть , и - открытая окрестность точки в . Так как множество является замкнутым, то по условию множество

замкнуто в , поэтому множество открыто в . Так как , то является окрестностью точки . Следовательно, по лемме 4.1 отображение непрерывно в точке , а значит и на всем пространстве . #

В заключение этого параграфа остановимся на некоторых применениях понятия непрерывности.

Пример 4.1. Топологические пространства и называются гомеоморфными, если существует биекция такая, что непрерывны, как сама биекция , так и обратная ей биекция . Отметим, что факт наличия биекции означает, что множества и равномощны, т.е. «совпадают» по «количеству» содержащихся в них элементов. Как видно из теоремы 4.2, понятие гомеоморфизма включает в себя существенно большее: оно означает еще, что и топологии на этих множествах по-существу «совпадают». Таким образом, гомеоморфные пространства можно считать различными реализациями одного и того же топологического пространства.

Пример 4.2. Применим теперь свойство непрерывности для сравнения топологий, заданных на одном и том же множестве . Для этой цели используем тождественное отображение , действующее по правилу: для любого . Итак, пусть и - две топологии, заданные на . Говорят, что топология сильнее топологии (или топология мажорирует топологию ), если тождественное отображение непрерывно. Если сильнее , то также говорят, что слабее или что топология минорирует топологию . Две топологии, одна из которых сильнее другой, называются сравнимыми. Из теоремы 4.2 вытекает, что топология сильнее топологии в том и только том случае, когда . Таким образом, пространство с более сильной топологией обладает большим набором открытых и замкнутых множеств, а также большим набором окрестностей для каждой точки . Отметим еще, что среди всех топологий, заданных на множестве , всегда существует сильнейшая топология (дискретная топология ) и слабейшая (антидискретная топология ).