Аксиомы счетности

Последний пример показывает целесообразность постановки вопроса о выделении класса топологических пространств, в которых замыкания любых множеств можно описать с помощью последовательностей.

Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, если каждая его точка имеет не более чем счетный базис фильтра окрестностей. Метрические пространства доставляют важнейшие примеры топологических пространств с первой аксиомой счетности. Счетные базисы фильтров окрестностей в них образуют семейства открытых шаров . Примером пространства, не удовлетворяющего первой аксиоме счетности, служит любое бесконечное несчетное множество (например, отрезок числовой прямой), наделенное топологией Зарисского (см. пример 1.3). В таком пространстве никакая точка не может иметь счетного базиса фильтра окрестностей.

Для пространств с первой аксиомой счетности теорема 2.2 допускает существенное упрощение.

Теорема 3.1. Пусть - топологическое пространство с первой аксиомой счетности и . Для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы для некоторой последовательности .

Доказательство. Достаточность следует из теоремы 2.2. Для доказательства необходимости обозначим через некоторый счетный базис фильтра окрестностей точки , элементы которого занумеруем в виде последовательности множеств . Положим, далее, по индукции и для всех номеров . Ясно, что последовательность является базисом фильтра окрестностей точки , причем элементы этого базиса расположены по убыванию: Если теперь выбрать из каждого множества по одной точке , то мы получим последовательность , сходящуюся к точке . #

Замечание. Если при доказательстве необходимости теоремы точка имеет конечный базис фильтра окрестностей , то, полагая и для всех номеров и для всех , получим счетный базис фильтра окрестностей , после чего доказательство завершается так же, как и приведено в теореме.

Итак, при определении пространств с первой аксиомой счетности исходят из наличия у каждой точки таких пространств не более чем счетного базиса фильтра окрестностей. Если аналогичный подход применить к базе топологии, то мы придем к понятию пространства со второй аксиомой счетности. А именно, говорят, что топологическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности, если его топология обладает не более чем счетной базой. Если - не более чем счетная база топологии пространства , то по лемме 1.4 для любого семейство будет не более чем счетным базисом фильтра окрестностей точки . Это доказывает, что пространства со второй аксиомой счетности удовлетворяют и первой аксиоме счетности.

Пространства со второй аксиомой счетности обладают еще одним весьма важным свойством. Топологическое пространство называется сепарабельным, если оно имеет не более чем счетное всюду плотное множество, т.е. такое не более чем счетное множество , что . Имеет место следующая

Теорема 3.2. Если - топологическое пространство со счетной базой, то сепарабельно.

Доказательство. Пусть - не более чем счетная база топологии пространства . Выбрав из каждого множества по некоторой точке , получим не более чем счетное множество . Если и - некоторая открытая окрестность точки , то по определению базы топологии множество является объединением некоторых элементов базы, поэтому для некоторого номера . Так как , то . Следовательно, и, значит, . #

Итак, класс пространств со второй аксиомой счетности лежит в пересечении классов сеперабельных топологических пространств и пространств с первой аксиомой счетности. Следующий пример показывает, что он не совпадает с этим пересечением.

Пример 3.1. Рассмотрим полуинтервал числовой прямой, наделенной топологией из примера 1.6 (правая стрелка). Как ранее отмечалось, всевозможные полуинтервалы , где , образуют одну из баз этой топологии. Пространство является сепарабельным, так как множество рациональных точек из всюду плотно в . Кроме того, для любой точки семейство

образует счетный базис фильтра окрестностей , поэтому обладает первой аксиомой счетности. Покажем, что это пространство, однако, не удовлетворяет второй аксиоме счетности. Действительно, пусть - некоторая база топологии , и . Так как полуинтервал , то для некоторого семейства множеств . Поэтому найдется такое множество , что и для любого . Аналогично существует множество такое, что и для любого . Так как , то отсюда следует, что существует взаимно однозначное соответствие между точками множества и некоторым подмножеством базы топологии . Отсюда уже вытекает, что не может быть счетной. #

Отметим, что классы сепарабельных топологических пространств и пространств с первой аксиомой счетности не совпадают. Действительно, любое бесконечное несчетное множество, наделенное топологией Зарисского, доставляет пример сепарабельного топологического пространства, не удовлетворяющего первой аксиоме счетности (в этом пространстве любое счетное множество является всюду плотным). С другой стороны метрическое пространство всех ограниченных вещественных функций, заданных на отрезке , где , рассматриваемое с равномерной метрикой , как и всякое метрическое пространство, удовлетворяет первой аксиоме счетности, но не является сепарабельным. В самом деле, если - некоторое всюду плотное множество в , то для любой точки открытый шар содержит хотя бы одну точку множества , где - характеристическая функция одноточечного множества . Так как для любых различных точек , то . Отсюда следует, что множество не может быть счетным.

В силу сказанного, особый интерес представляет

Теорема 3.3. Для того чтобы метрическое пространство удовлетворяло второй аксиоме счетности, необходимо и достаточно, чтобы оно было сепарабельным.

Доказательство. Очевидно, доказательству требует лишь достаточное условие теоремы. Итак, пусть - сепарабельно и - счетное всюду плотное множество в . Рассмотрим семейство открытых шаров

.

Семейство открытых множеств , как нетрудно понять, является счетным. Докажем, что является базой топологии пространства . Действительно, пусть - непустое открытое множество в . По определению топологии метрического пространства для любой точки найдется такое число , что . Пусть точка , а число таково, что . Тогда , так что . Далее, если , то по неравенству треугольника имеем:

,

Так что . Следовательно, . Поскольку - произвольная точка из , то любое открытое множество может быть получено в виде объединения некоторого семейства шаров из , так что является базой топологии. #

В заключение параграфа докажем одно замечательное свойство топологических пространств, имеющих не более чем счетную базу топологии. Для этого введем новые понятия. Семейство множеств в топологическом пространстве будем называть покрытием , если . Среди всевозможных покрытий наиболее часто применяются открытые покрытия, т.е. такие покрытия, для которых все множества являются открытыми в . Подпокрытием покрытия называется всякое семейство такое, что и .

Теорема 3.4. (Теорема Линделефа) Если топологическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности, то из любого его открытого покрытия можно выделить не более чем счетное подпокрытие.

Доказательство. Пусть - не более чем счетная база топологии пространства , а - открытое покрытие пространства . Для каждого через обозначим произвольное множество из покрытия, содержащее точку , а через - такое множество из базы топологии , что . Ясно, что семейство различных множеств , выбранных из базы , будет не более чем счетным, и . Выбрав теперь для каждого множества по одному, содержащему его множеству , мы получим не более чем счетное подпокрытие исходного покрытия. #

Теорема Линделефа послужила основанием для введения нового класса топологических пространств. А именно, топологическое пространство называется линделефовым или финально компактным, если из любого его открытого покрытия можно выделить не более чем счетное подпокрытие.