Некоторые топологические конструкции

В этом параграфе будут приведены некоторые основные приемы построения новых топологических пространств, исходя из заранее заданных.

1. Прообраз топологии. Пусть - некоторое непустое множество, - топологическое пространство и - заданное отображение. Положим

.

Поскольку , , и , то является топологией на . Эта топология называется прообразом топологии при отображении . Очевидно, открытые (соотв., замкнутые) множества в - это прообразы при отображении открытых (соотв., замкнутых) множеств из . Отсюда, в частности, вытекает, что для каждого семейство множеств образует базис фильтра окрестностей точки для любого базиса фильтра окрестностей точки . Важнейшее свойство введенной топологии устанавливает

Теорема 5.1. Прообраз топологии при отображении является слабейшей из топологий на , для которых отображение непрерывно.

Доказательство. Пусть - прообраз топологии при отображении . То, что отображение непрерывно, следует из определения топологии и теоремы 4.2. Пусть, далее - некоторая топология на , относительно которой отображение непрерывно. Если - открытое множество в , то по определению , где . По теореме 4.2 , так что . Это означает, что сильнее . #

2. Индуцированная топология. Рассмотрим некоторое непустое множество в топологическом пространстве и каноническую инъекцию , действующую по правилу для любого . Отображение называется также оператором вложения множества в . Прообраз топологии при отображении называется индуцированной топологией (или, более точно, индуцированной во множестве топологией пространства ) и обозначается . Множество , наделенное индуцированной топологией, называется подпространством топологического пространства . Из отмеченных выше свойств прообраза топологии вытекает, что индуцированная топология состоит в точности из следов на множество открытых множеств из , т.е. любое множество допускает представление в виде для некоторого множества . Двойственным образом: замкнутые множества в подпространстве - это следы на замкнутых множеств из . Отметим еще, что окрестности точки в подпространстве - это следы на окрестностей точки в пространстве . Простейшие примеры показывают, что «обращения» указанных свойств вообще говоря не верны, т.е. открытые (соотв., замкнутые) множества в подпространстве могут не быть открытыми (соотв., замкнутыми) множествами в самом пространстве. То же самое относится и к окрестностям точек. В свете сказанного представляет интерес

Лемма 5.1. Пусть - подпространство топологического пространства . Тогда:

1) для того чтобы любое открытое множество в было открытым в , необходимо и достаточно, чтобы само множество было открытым в ;

2) для того чтобы любое замкнутое множество в было замкнутым в , необходимо и достаточно, чтобы само множество было замкнутым в .

Доказательство. Необходимые условия в обоих утверждениях следуют из того факта, что само множество является открыто-замкнутым в подпространстве . Достаточные условия верны в силу того, что для любого открытого (соотв., замкнутого) множества в подпространстве выполняется равенство: , где оба множества и являются открытыми (соотв., замкнутыми) в . #

3. Фактортопология. Рассмотрим некоторое непустое множество , на котором задано отношение эквивалентности «~», т.е. бинарное отношение, которое:

1) рефлексивно, т.е. для любого ;

2) симметрично, т.е. если , то ;

3) транзитивно, т.е. если и , то .

Как хорошо известно, между всевозможными отношениями эквивалентности на множестве и всевозможными разбиениями множества на попарно непересекающиеся классы (т.е. подмножества) существует взаимно однозначное соответствие. Поэтому каждое отношение эквивалентности на множестве порождает новое множество , которое называется фактормножеством. Точками множества являются всевозможные (попарно непересекающиеся) классы эквивалентных между собой элементов в . Таким образом, точки входят в один класс в том и только том случае, когда . Обозначим, далее, через каноническое факторотображение, которое каждой точке ставит в соответствие класс эквивалентности, содержащий эту точку. Пусть теперь - некоторая топология на . Положим

.

Так как , , и , то является топологией на . Построенная топология называется фактортопологией, а топологическое пространство - факторпространством. Таким образом, открытые (соотв., замкнутые) множества в - это в точности те множества , чьи прообразы являются открытыми (соотв., замкнутыми) множествами в . Отметим два важных свойства фактортопологии:

Теорема 5.2. Следующие утверждения верны:

1) фактортопология является сильнейшей среди тех топологий на , для которых каноническое факторотображение непрерывно;

2) для любого топологического пространства отображение непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывно на .

Доказательство. 1) Очевидно, непрерывность факторотображения вытекает из определения фактортопологии и теоремы 4.2. Пусть теперь такая топология на , что факторотображение непрерывно, и . По теореме 4.2 , поэтому по определению фактортопологии . Последнее же означает, что топология слабее, чем .

2) Ясно, что доказательства требует лишь непрерывность отображения при условии непрерывности композиции . Пусть - открытое множество в . По теореме 4.2 множество открыто в , поэтому по определению фактортопологии множество открыто в . В силу теоремы 4.2 это доказывает непрерывность отображения . #

4. Произведение топологий. В дальнейшем нам придется обращаться с аксиомой выбора или с одним из ее эквивалентов – леммой Куратовского.

Аксиома выбора. Пусть - некоторое непустое множество для каждого элемента из некоторого множества индексов . Тогда существует отображение , заданное на такое, что для каждого индекса .

Как видно, аксиома выбора попросту означает, что из каждого непустого множества , входящего в произвольное фиксированное семейство , можно выбрать по одному элементу. Может показаться странной сама постановка вопроса: что мешает произвести такой выбор? Возможность подобного выбора в обычных университетских курсах анализа никогда не обсуждается и всегда подразумевается само собой разумеющимся делом. На самом деле не все так просто. Дело в том, что аксиома выбора не может быть получена из других аксиом теории множеств, поэтому ее приходится закладывать в качестве еще одной аксиомы или же отказаться от нее совсем. Если мы остановимся на последнем варианте, то вынуждены будем пересмотреть весь классический анализ и отказаться от наиболее содержательной его части. Такой исход следует признать нежелательным, поэтому нам остается согласиться с тем, чтобы признать аксиому выбора в качестве еще одной аксиомы теории множеств, тем более что она как будто не противоречит нашему здравому смыслу.

Прежде чем привести один из эквивалентов аксиомы выбора - лемму Куратовского – введем новые понятия. Частично упорядоченное множество называется упорядоченным, если выполняются две аксиомы:

1) для любого (рефлексивность отношения ),

2) если и , то (антисимметричность отношения ).

Подмножество упорядоченного множества называется цепью в , если любые два элемента в сравнимы между собой, т.е. для любых точек всегда выполняется хотя бы одно из двух соотношений: или . Цепь , не содержащаяся ни в какой отличной от цепи , называется максимальной цепью в .

Лемма Куратовского. Каждая цепь в упорядоченном множестве содержится в некоторой максимальной цепи.

Как уже отмечалось, лемма Куратовского равносильна аксиоме выбора, хотя она и менее «очевидна», чем последняя. Приступим теперь к определению произведения топологий.

Пусть - некоторое семейство топологических пространств. Обозначим через - декартовое произведение множеств , т.е. - это множество, точками которого являются всевозможные семейства , где для любого . Отметим, что аксиома выбора гарантирует непустоту множества . Отображение , действующее по правилу: для любого , называется проекцией множества на множество . Пусть и - некоторый базис фильтра окрестностей точки в топологическом пространстве . Обозначим через семейство всех таких множеств , что , где для некоторого конечного числа индексов и для всех остальных индексов . Пусть, далее, - совокупность всех таких множеств , каждое из которых содержит некоторое множество . Легко видеть, что удовлетворяет свойствам - из , так что по теореме 1.3 существует, и притом единственная, топология на , для которой является фильтром окрестностей каждой точки . Нетрудно понять, что ни , ни не зависят от выбора базисов фильтров окрестностей и что при этом является базисом фильтра окрестностей точки . Полученная таким образом топология называется тихоновской топологией на декартовом произведении или произведением топологий и обозначается , а пространство - произведением топологических пространств .

Особо отметим тот случай, когда множество индексов конечное: здесь в качестве базиса фильтра окрестностей точки можно взять семейство всех таких множеств , что для каждого индекса . Такой прием часто используют при изучении пространства .

При построении тихоновской топологии можно исходить и из понятия базы топологии. А именно, если - база топологии пространства , то семейство всех таких множеств , что для некоторого конечного числа индексов и для всех остальных , является базой тихоновской топологии. Если при этом множество конечное, то можно считать, что для любого .

Важнейшие свойства тихоновской топологии доставляет

Теорема 5.3. Пусть - семейство топологических пространств, , и - еще одно топологическое пространство. Тогда:

1) является слабейшей среди тех топологий на , для которых все проекции непрерывны;

2) отображение непрерывно в точке тогда и только тогда, когда непрерывна в точке каждая из композиций .

Доказательство. 1) Пусть , и - некоторая окрестность точки в пространстве . Положим , где для всех индексов . Тогда - это окрестность точки в и . Следовательно, проекция непрерывна в точке , а значит и на всем пространстве .

Пусть теперь - некоторая топология на , относительно которой все проекции непрерывны, и . Так как является окрестностью точки в пространстве , то по определению тихоновской топологии найдутся такие индексы и окрестности точек в пространствах , что , где и для всех . По непрерывности проекций в топологии найдутся такие окрестности точки в пространстве , что для любого . Тогда - это окрестность точки в и , ибо , а . Следовательно, , а значит и , - это окрестность точки в пространстве . Отсюда по лемме 1.1 следует, что , так что топология сильнее .

2) Если отображение непрерывно в точке , то из первой части данной теоремы следует непрерывность композиций .

Обратно, пусть теперь все композиции непрерывны в точке и - окрестность точки в . По определению топологии найдутся такие индексы и окрестности точек в пространствах , что , где . Далее для каждого найдется такая окрестность точки в , что . Пусть . Тогда - это окрестность точки в и

,

так что отображение непрерывно в точке . #

Выясним теперь смысл сходимости в тихоновской топологии декартового произведения топологических пространств. Имеет место

Теорема 5.4. Пусть - произведение топологических пространств . Для того чтобы направленность сходилась к точке , необходимо и достаточно, чтобы для любого направленность сходилась к точке .

Доказательство. Необходимость следует из теорем 4.1 и 5.3.

Достаточность. Пусть для каждого направленность сходится к точке и - некоторая окрестность точки . По определению тихоновской топологии найдутся такие индексы и окрестности точек , что . Так как , то по определению предела для каждого найдется такой индекс , что для всех . По направленности вверх множества найдется такой индекс , что для любого . Тогда для всех и всех выполняется: или . Следовательно, для всех , а это и означает, что в тихоновской топологии пространства . #

Таким образом, сходимость в произведении топологических пространств по сути своей является сходимостью по каждой проекции или, что то же самое, по каждой координате. Поэтому такую сходимость принято называть покоординатной или поточечной сходимостью. Последний термин часто употребляется тогда, когда все координатные пространства одинаковы, т.е. когда для любого индекса . В этом случае пространство является пространством всех отображений , а покоординатная сходимость в таком пространстве означает сходимость направленности отображений к отображению в каждой точке , т.е. сходимость вида для каждого .

5. Продолжение топологий. В заключение данного параграфа опишем конструкцию продолжения на множество топологий , заданных на элементах некоторого покрытия множества .

Будем говорить, что топология на является продолжением семейства топологий , если индуцирует в каждом множестве топологию . Очевидно, для существования продолжения семейства топологий необходимо, чтобы топологии были согласованы между собой в следующем смысле: во всевозможных непустых пересечениях топологии и должны индуцировать одну и ту же топологию. Отметим, что продолжение одного и того же семейства топологий, заданных на элементах некоторого покрытия, вообще говоря, не единственно. В качестве примера можно взять покрытие действительной прямой , состоящее из всевозможных конечных подмножеств . Ясно, что обычная (каноническая) топология действительной прямой и дискретная топология на индуцируют на множествах одну и ту же дискретную топологию. Поэтому для существования и единственности продолжения семейства топологий необходима определенная связь искомой топологии с заданным покрытием. Будем говорить, что топология на согласована с покрытием множества , если из условия для любого следует, что .

Теорема 5.5. Если топологии , заданные на элементах покрытия множества , согласованы между собой, а все множества открыты (или замкнуты) как в пространстве , так и в пространстве , то существует, и притом единственная, топология на , которая согласована с покрытием и является продолжением топологий .

Доказательство. 1) Предположим сначала, что все множества открыты как в , так и в . Обозначим через семейство всех таких множеств , что открыто в пространстве для любого . Легко видеть, что является топологией на , причем она согласована с покрытием . Докажем теперь, что - это продолжение топологий , т.е. что для каждого . Действительно, пусть . По определению индуцированной топологии для некоторого множества , а по определению топологии получаем тогда, что . Следовательно, . Обратно, пусть . Тогда для любого множество будет открыто в подпространстве пространства . Из леммы 5.1 и согласованности топологий и следует, что . Отсюда по определению топологии получаем, что . Но тогда . Следовательно, , а поэтому . Итак, существование требуемой топологии доказано.

Пусть теперь - произвольная топология на , являющаяся продолжением топологий и согласованная с покрытием . Так как множество тогда и только тогда, когда для любого , то , что доказывает единственность искомой топологии.

2) Предположим теперь, что все множества замкнуты как в , так и в . Обозначим через семейство всех таких множеств , что замкнуто в для любого . Ясно, что является семейством всех замкнутых множеств в топологии . Докажем, что топология согласована с покрытием . Действительно, пусть таково, что открыто в для любого . Так как , то множество замкнуто в для каждого . Поэтому , а . Докажем теперь, что является продолжением топологий . В силу двойственности открытых и замкнутых множеств для этого достаточно доказать, что для любого семейство совпадает с . Пусть . Тогда для некоторого множества , поэтому по определению семейства . Следовательно, . Обратно, если , то для любого множество замкнуто в подпространстве пространства . Следовательно, оно будет замкнутым и в пространстве для любого , так что . Но тогда и, значит, . Наконец, единственность топологии следует из того, что если топология согласована с покрытием и является продолжением топологий , а , то . #

Отметим, что если в условиях теоремы 5.5 все множества открыты (соотв., замкнуты) как в пространстве , так и в пространстве , то семейство доставляет открытое (соотв., замкнутое) покрытие .

Приведем один широко распространенный способ применения теоремы 5.5: