Достижимые топологические пространства

Аксиомы, заложенные в основу понятия топологии, являются настолько общими, что им удовлетворяют и весьма «плохо устроенные» топологические пространства. Одним из средств, позволяющих избежать «неправильных» с точки зрения классического анализа ситуаций, является введение добавочных ограничений на классы рассматриваемых пространств. В данном и некоторых последующих параграфах будут введены и изучены аксиомы, носящие отделимостный характер. Начнем с изучения одной из самых простых аксиом отделимости.

Топологическое пространство называется достижимым (или пространством), если для любых двух различных точек существует окрестность точки , не содержащая точку , и окрестность точки , не содержащая точку . Про достижимые топологические пространства говорят, что они обладают первой аксиомой отделимости.

Отметим, что любое бесконечное множество , наделенное топологией Зарисского (см. пример 1.3), является достижимым топологическим пространством. Нетрудно показать, что топология Зарисского является слабейшей среди всех достижимых топологий, заданных на . А вот множество действительных чисел, наделенное правой топологией (см. пример 1.5), не является достижимым топологическим пространством. Имеет место следующая характеристика достижимых пространств:

Теорема 6.1. Пусть - топологическое пространство. Следующие утверждения эквивалентны:

1) - достижимое топологическое пространство;

2) любое одноточечное множество в замкнуто;

3) пересечение всех окрестностей любой точки совпадает с одноточечным множеством .

Доказательство. . Если и , то по условию существует такая окрестность точки , что . Это означает, что не является точкой прикосновения для одноточечного множества . Поэтому по теореме 2.1 .

. Если и , то по условию множество является окрестностью точки , не содержащей точку . Следовательно, пересечение всех окрестностей любой точки совпадает с одноточечным множеством .

. Пусть и . По условию точка не входит в пересечение всех окрестностей точки , поэтому найдется такая окрестность точки , что . Следовательно, является достижимым топологическим пространством. #

Следствие. В достижимом топологическом пространстве любое конечное множество является замкнутым.

Рассмотрим подпространства и тихоновские произведения достижимых топологических пространств.

Лемма 6.1. Любое подпространство достижимого топологического пространства является достижимым.

Доказательство. Данное утверждение очевидным образом вытекает из того, что окрестности точек в подпространстве являются следами на окрестностей этих же точек в пространстве . #

Лемма 6.2. Произведение семейства топологических пространств достижимо тогда и только тогда, когда каждое пространство достижимо.

Доказательство. Предположим сначала, что достижимо. Пусть и точки таковы, что . Для каждого индекса , , выберем по некоторой точке и положим и , где для любого индекса . Тогда , поэтому по условию достижимости тихоновской топологии на найдутся такие индексы и окрестности точек в , что , где . Так как для любого индекса , то при всех , поэтому и, значит, . Это доказывает достижимость пространства .

Обратно, пусть теперь все пространства достижимы, и . Тогда найдется такой индекс , что . Выберем окрестность точки в пространстве так, чтобы . Тогда - это окрестность точки в и . Следовательно, пространство достижимое. #