Если сходится ряд , то сходится и ряд

В данной теореме сформулирован достаточный признак сходимости ряда . Обратное утверждение в общем случае неверно.

Определения.

Если сходится ряд , то ряд называется абсолютно сходящимся.

Если же ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Пример 25. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Общий член этого ряда . Так как , то ряд расходится, ибо он является рядом Дирихле с . Ряд согласно признаку Лейбница сходится. Следовательно, исследуемый ряд сходится условно.

Пример 26. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Этот ряд сходится абсолютно,

так как ряд – сходящийся ряд Дирихле.

Ранее отмечалось, что в знакоположительных рядах можно произвольным образом переставлять и группировать члены. В знакопеременных рядах, если они абсолютно сходятся, это свойство сохраняется. Для условно сходящихся рядов дело обстоит иначе. Здесь группировка, перестановка членов ряда может нарушить сходимость ряда. Например, если из знакочередующегося условно сходящегося ряда выделить положительные члены, то полученный ряд может расходиться. Следует иметь в виду это обстоятельство и с условно сходящимися рядами обращаться с большой осторожностью. Для условно сходящихся рядов справедлива следующая теорема Римана.

ТЕОРЕМА 9.