![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Опираясь на теорему Абеля можно доказать, что существует такое положительное число R, что для всех x, удовлетворяющих неравенству | x-x0 |< R, ряд сходится абсолютно и расходится при всех x, для которых | x-x0 |> R.
Число R называется радиусом сходимости ряда , а интервал (x0-R, x0-R) – интервалом сходимости.
В частном случае интервал сходимости степенного ряда может совпадать со всей числовой осью (в этом случае R =¥) или может превращаться в точку (в этом случае R =0). Заметим, что интервал сходимости всегда симметричен относительно центра степенного ряда.
Пример 28. Найти интервал сходимости степенного ряда
.
Решение. Первый способ. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: . Применим признак Даламбера:
.
Если | x -2|<1, то ряд сходится. Итак, -1< x -2<1, 1< x <3 – интервал сходимости данного ряда. Поведение данного ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точках x =1 и x =3, исследуется отдельно.
При x =1 из данного ряда получаем ряд , который условно сходится.
При x =3 получаем гармонический ряд , который расходится.
Итак, данный ряд сходится абсолютно при 1< x <3 и условно при. x= 1.
Второй способ решения. Если для степенного ряда (2) существует , то радиус сходимости степенного ряда можно вычислить по формуле
. (22)
или
В нашем случае и
, поэтому
. Так как x 0=2 – центр степенного ряда, то (x0-R, x0+R)=(1;3) – интервал сходимости данного ряда.
Сходимость ряда на концах интервала сходимости исследована выше.
Итак, данный ряд сходится абсолютно при 1< x <3 и условно при х =1.
Дата публикования: 2015-02-22; Прочитано: 238 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!