X-x0 |>|x2-x0|

Опираясь на теорему Абеля можно доказать, что существует такое положительное число R, что для всех x, удовлетворяющих неравенству | x-x₀ |< R, ряд сходится абсолютно и расходится при всех x, для которых | x-x₀ |> R.

Число R называется радиусом сходимости ряда , а интервал (x₀-R, x₀-R) – интервалом сходимости.

В частном случае интервал сходимости степенного ряда может совпадать со всей числовой осью (в этом случае R =¥) или может превращаться в точку (в этом случае R =0). Заметим, что интервал сходимости всегда симметричен относительно центра степенного ряда.

Пример 28. Найти интервал сходимости степенного ряда

.

Решение. Первый способ. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: . Применим признак Даламбера:

.

Если | x -2|<1, то ряд сходится. Итак, -1< x -2<1, 1< x <3 – интервал сходимости данного ряда. Поведение данного ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точках x =1 и x =3, исследуется отдельно.

При x =1 из данного ряда получаем ряд , который условно сходится.

При x =3 получаем гармонический ряд , который расходится.

Итак, данный ряд сходится абсолютно при 1< x <3 и условно при. x= 1.

Второй способ решения. Если для степенного ряда (2) существует , то радиус сходимости степенного ряда можно вычислить по формуле

. (22)

или

В нашем случае и , поэтому . Так как x ₀=2 – центр степенного ряда, то (x₀-R, x₀+R)=(1;3) – интервал сходимости данного ряда.

Сходимость ряда на концах интервала сходимости исследована выше.

Итак, данный ряд сходится абсолютно при 1< x <3 и условно при х =1.