Из расходимости ряда (“меньшего”) следует расходимость ряда (“большего”)

Схематическая запись первого признака сравнения:

a _n £ b _n

сход.сход.

расх.®расх.

Для применения этого признака часто используют такие ряды-эталоны, сходимость или расходимость которых известна заранее, например:

1) ¾ геометрический, (он сходится при и расходится при );

2) - гармонический (он расходится);

3) -ряд Дирихле (он сходится при a>1 и расходится при a£1).

Рассмотрим на конкретном примере схему исследования знакоположительного ряда на сходимость с помощью первого признака сравнения.

Пример 17. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Шаг 1. Проверим знакоположительность ряда: .

Шаг 2. Проверим выполнение необходимого признака сходимости ряда: . Так как , то .

(Если вычисление предела вызывает трудности, то этот шаг можно пропустить.)

Шаг 3. Используем первый признак сравнения. Подберем для данного ряда ряд-эталон. Так как , то в качестве эталона можно взять ряд , т.е. ряд Дирихле. Этот ряд сходится, так как показатель степени a= >1. Следовательно, согласно первому признаку сравнения сходится и исследуемый ряд.

Пример 18. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. 1.Данный ряд знакоположительный, так как для n =1,2,3,....

2.Необходимый признак сходимости ряда выполняется, ибо

3.Подберем ряд-эталон. Так как , то в качестве эталона можно взять геометрический ряд (). Этот ряд сходится, следовательно сходится и исследуемый ряд.

ТЕОРЕМА 3. (Второй признак сравнения )