Сходящиеся и расходящиеся ряды

Если дан ряд (1), то сумма первых n членов этого ряда называется n-ой частичной суммой и обозначается через A_n. Следовательно, суммы

A ₁= a₁ – 1-ая частичная сумма;

A ₂= a₁+a₂ – 2-ая частичная сумма;

A ₃= a₁+a₂+a₃ – 3-ая частичная сумма;

¼

A _n= a₁+a₂+a₃+ ¼+ a_n – n-ая частичная сумма,

...

образуют последовательность частичных сумм A ₁, A ₂,..., A _n,....

Определение.

Ряд (1) называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм, то есть . При этом число A называется суммой ряда. Если для данного ряда последовательность частичных сумм { A _n} не имеет конечного предела при n ®¥, то этот ряд называется расходящимся.

Пример 13. Исследовать на сходимость ряд, составленный из членов геометрической прогрессии (геометрический ряд)

a + aq + aq ² +...+ aq^{n -1} +...= ( a ¹0).

Решение. Из элементарной математики известно, что сумма n членов геометрической прогрессии . Отсюда следует, что если ï q ï<1, то геометрический ряд сходится и его сумма Если же ï q ï³1, то геометрический ряд расходится.

Пример 14. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Так как , то n-ая частичная сумма данного ряда

. Эта сумма при n®¥ имеет предел _. Итак, данный ряд сходится и его сумма равна единице.