Решение типового примера. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4;3), В(16;-6), С(20;16)

Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4;3), В(16;-6), С(20;16).

Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол при вершине В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты СД; 5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СД; 6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ.

Решение.

1) Расстояние d между двумя точками и определяется по формуле

(1)

Применяя (1), находим длину стороны АВ:

.

2) Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид

(2)

Подставляя в (2) координаты точек А и В, получим уравнение стороны АВ:

; ; ;

4y-12=-3x+12; 3x+4y-24=0 (АВ).

Решив последнее уравнение относительно y, находим уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:

4y=-3x+24; , откуда .

Подставив в (2) координаты точек В и С, получим уравнение прямой ВС:

11x-2y-188=0 (ВС), или y=5,5x-94, откуда .

3) Известно, что тангенс угла между двумя прямыми, угловые коэффициенты, которых соответственно равны и вычисляется по формуле

(3)

Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые коэффициенты которых найдены: ; . Применяя (3), получим

, или

4) Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид

(4)

Высота СD перпендикулярна стороне АВ. Чтобы найти угловой коэффициент высоты CD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых . Так как , то . Подставив в (4) координаты точки С и найденный угловой коэффициент высоты, получим

; ; (СD).

5) Чтобы найти уравнение медианы АЕ, определим сначала координаты точки Е, которая является серединой стороны ВС, применяя формулы деления отрезка на две равные части:

; . (5)

Следовательно,

; ; Е(18;5).

Подставив в (2) координаты точек А и Е, находим уравнение медианы:

; ;

(АЕ).

Чтобы найти координаты точки пересечения высоты CD и медианы АЕ, решим систему уравнений

.

6) Так как искомая прямая параллельна стороне АВ, то ее угловой коэффициент будет равен угловому коэффициенту прямой АВ. Подставив в (4) координаты найденной точки К и угловой коэффициент , получим

; ; (KF)

Треугольник АВС, высота CD, медиана АЕ,

прямая KF и точка М построим в системе координат xOy на рисунке 1

21-30. Построить кривые второго порядка, приведя их к каноническому виду. В пунктах: а) для кривых найти координаты фокусов и эксцентриситет; б) для кривых найти фокус и уравнение директрисы.

21. а) б) =0

22. а) б)

23. а) б)

24. а) б)

25. а) б)

26. а) б)

27. а) б)

28. а) б)

29. а) б)

30. а) б)