![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Решить систему линейных уравнений:
а) по формулам Крамера;
б) матричным методом;
в) сделать проверку найденного решения.
Решение.
а) Для решения заданной системы линейных уравнений воспользуемся формулами Крамера:
;
;
.
Определитель третьего порядка вычисляется по правилу разложения по элементам первой строки:
Составим и вычислим главный определитель системы.
Так как определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Для его отыскания вычислим вспомогательные определители .
Для вычисления в главном определителе первый столбец заменим столбцом свободных членов, для вычисления
и
соответственно второй и третий.
По формулам Крамера получим:
;
;
.
б) (1)
Данную систему запишем в матричной форме и решим с помощью обратной матрицы.
Пусть А – матрица коэффициентов при неизвестных; X – матрица-столбец неизвестных x,y,z и Н – матрица-столбец из свободных членов:
,
,
.
Левую часть системы (1) можно записать в виде произведения матриц , а правую в виде матрицы Н. Следовательно имеем матричное уравнение
. (2)
Если определитель матрицы А отличен от нуля, то матрица А имеет обратную матрицу . Умножим обе части равенства (2) слева на матрицу
, получим
.
Так как , где Е – единичная матрица, а
, то
. (3)
Формулу (3) называют матричной записью решения системы линейных уравнений. Чтобы воспользоваться формулой (3), необходимо сначала найти обратную матрицу по формуле
, (4)
где - определитель матрицы коэффициентов,
,
- алгебраическое дополнение к элементам матрицы,
- минор, определитель второго порядка, полученный путем вычеркивания i -ой строки и j- ого столбца.
Пример:
.
Подставляя полученные значения алгебраических дополнений и в формулу (4), получим обратную матрицу
.
Заменив (3) соответствующими матрицами, имеем
,
где элементы неизвестной матрицы получены путем умножения строк обратной матрицы на соответствующие элементы матрицы свободных членов.
Откуда x=2; y=4; z=-1.
в) Проверим правильность полученного решения, подставив его в каждое уравнение заданной системы:
.
Получили три верных равенства, система решена правильно.
Тема:2 Аналитическая геометрия на плоскости (задачи 11-20, 21-30). Перед выполнением задач необходимо изучить разделы 4,5,6 ДЕ-2(аналитическая геометрия).
Дата публикования: 2015-02-22; Прочитано: 283 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!