Геометрическое представление определителя

Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных свободных векторов и поставим им в соответствие упорядоченную тройку направленных отрезков исходящих из одной точки в ориентированном пространстве. На этих направленных отрезках, как на сторонах, построим параллелепипед (рис.2.6).

Имеется бесконечное множество ориентированных параллелепипедов, каждому из которых ставится в соответствие та же упорядоченная тройка векторов. Эти параллелепипеды получаются переносами любого из них и имеют, поэтому один и тот же объем V_{p .} Если вектора компланарны, то объем такого вырожденного параллелепипеда принимается равным нулю.

у

Z

С

В

D А

х

Рис. 2.6

Определим объем V_p параллелепипеда, построенного на векторах , в координатах. Для этого выберем в пространстве ортонормированный базис связав с ним систему координат x, y, z (рис.2.6). И пусть относительно этого базиса три вектора заданы своими координатами:

.

Введем две операции над свободными векторами.