Определение и свойства определителя, вытекающие из определения

Определение. Рассмотрим векторное пространство квадратных матриц А порядка n над полем P. Зададим такое отображение D пространства этих матриц в поле Р, при котором каждой квадратной матрице

ставится в соответствие число D (A)из P по закону

(6.1)

Это число называют определителем (детерминантом) матрицы А. Обозначение D (A) или |A|.

Из данного определения следует, что отображение D представляет собой числовую функцию, заданную на множестве квадратных матриц, и поэтому роль переменного в ней играет квадратная матрица А. Таким образом, определитель, т.е. значение D (A) числовой функции D, можно рассматривать как числовую характеристику квадратной матрицы А. Порядок матрицы называется и порядком определителя, которой он соответствует.

Сумма в правой части равенства берется по перестановкам вторых индексов элементов матрицы a_ij, где j = 1, 2, ..., n. Это означает, что каждой перестановке вторых индексов m ₁, m ₂, ..., m_n чисел 1, 2,..., n,или соответствует слагаемое. Каждое слагаемое состоит из произведения n элементов, взятых по одному и только одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Произведения складываются со знаками определяемые числом инверсий n (f) соответствующих перестановок Число таких слагаемых равно числу перестановок 1,2,...., n, т.е. n!.

Примеры. 1.

Действительно, перестановок m ₁, m ₂ из 1,2 всего две

2. а ₁₁ а ₂₂ а ₃₃ –

– а ₁₂ а ₂₁ а ₃₃ + а ₁₂ а ₂₃ а ₃₁ – а ₁₃ а ₂₂ а ₃₁ + а ₁₃ а ₂₁ а ₃₂ – а ₁₁ а ₂₃ а ₃₂. Перестановок m ₁, m ₂, m ₃из 1, 2, 3 всего 3! = 6.

Свойства определителя, вытекающие из определения:

1. Определитель транспонированной матрицы равен исходной: D (A ^T) = D (A). Вытекает из равноправия строк и столбцов по отношению к определителю.

2. Если поменять местами два столбца (строки) определителя, то определитель изменит знак на противоположный. Действительно, если столбцы (строки) меняются местами, то это приводит к транспозиции в перестановке а транспозиция, как мы установили, приводит к изменению четности перестановки (книга 1, гл.2, § 2, п.3). Следовательно, все слагаемые определителя изменят знак на противоположный.

3. Определитель, у которого две строки (столбца) одинаковы, равен нулю. В самом деле, если в определителе переставить две одинаковые строки (столбца), то, с одной стороны, мы ничего не изменим, а с другой стороны, в соответствии с п.2, изменим знак определителя на противоположный, т.е. D (A) = – D (A), отсюда D (A) = 0.

4. Если все элементы столбца (строки) определителя умножить на одно и то же число, то и определитель умножится на это число.

Таким образом, если все элементы некоторой строки (столбца) содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

5. Если каждый элемент какого-либо столбца (строки) есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых столбцами (строками) являются соответствующие слагаемые, а остальные совпадают со столбцами (строками) заданного определителя:

Свойства 4 и 5 вытекают из дистрибутивности умножения относительно сложения. Свойство 5 можно рассматривать, как правило для сложения определителей.

Следствия. 1. Величина определителя не изменится, если к элементам какого-либо столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на одно и то же число.

2. Если А – матрица порядка n, то D (lA) =lⁿ D (A).

3. D (A)· D (B) =D (A·B).Даже если A·B ¹ B·A, то, тем не менее

D (A·B) = D (A)· D (B) = D (B · A).

§2. РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО ЭЛЕМЕНТАМ СТОЛБЦА (СТРОКИ). ТЕОРЕМА О ЧУЖИХ ДОПОЛНЕНИЯХ

Определение 1 .Дополнительным минором некоторого элемента а_ij квадратной матрицы А порядка n,называется определитель D_ij матрицы порядка n – 1, которая получается из данной матрицы А вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца (пересекающихся на этом элементе).

Пример. – дополнительный минор элемента а ₃₁.

Определение 2. Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij называется его дополнительный минор D_ij умноженный на (–1) ^{i + j}

А_ij = (–1) ^{i + j} · D_ij

Справедливо следующее утверждение, которое мы примем без доказательства: если элементы некоторой строки (столбца) умножить на их алгебраические дополнения и эти произведения сложить, то получится величина определителя.

Данные разложения позволяют вычисление определителя порядка n свести к вычислению n определителей порядка n – 1. Кроме этих формул часто бывает, полезна и следующая теорема.

Теорема (о чужих дополнениях). Если элементы некоторой строки (столбца) умножить на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) и эти произведения сложить, то сумма будет равна нулю.

a_ij, где j = 1,2,..., n – элементы i -ой строки, а А_кj, где j = 1,2,..., n алгебраические дополнения элементов к -ой строки.

Доказательство. Рассмотрим определитель матрицы В, которая получается из матрицы А заменой элементов к -ой строки на элементы i -ой строки. Поскольку это определитель с двумя равными строками, то он равен нулю

Заметим, что в_кj = а_ij, а В_кj = А_кj, тогда , что и требовалось доказать.

Пример. .

Теперь дадим геометрическую интерпретацию определителю.