Симметрические матрицы

Определение 1. Говорят, что матрица А ^Тэлементов транспонирована по отношению к квадратной матрице А элементов , если = , для i = 1,2,..., n; j = 1,2,..., n.

А = , А ^Т = .

Элементы матрицы А ^Т симметричны элементам матрицы А относительно главной диагонали. Операция, переводящая квадратную матрицу в ее транспонированную, называется транспонированием. Для этого элементы каждой строки матрицы А записываются в том же порядке в столбцы матрицы А ^Т, причем номер столбца совпадает с номером строки. Ясно, что при этом i -ая строка А ^Т состоит из тех же элементов, в том же порядке, что и i -й столбец матрицы А.

Матрицы А и А ^Т имеют одинаковый ранг r (A) = r (A ^Т), а также:

(l А)^Т = lA ^Т;(А+В)^Т = А ^Т +В ^Т;(А×В)^Т = В ^Т А ^Т; если А обратима, то (А^{- 1})^Т = (А ^Т) ^{- 1}.

Определение 2. Квадратная матрица А элементов a_ij называется симметрической, если А = А ^Т. В этом случае a_ij = a_ji, т.е. элементы матрицы А симметричные относительно ее главной диагонали равны друг другу. Все диагональные матрицы симметрические, например, Е = Е ^Т.