Обратная матрица. Рассмотрим матрицу А, которая задает отображение Обратное отображение существует, если это взаимно однозначное отображение Рn на Рn

Рассмотрим матрицу А, которая задает отображение Обратное отображение существует, если это взаимно однозначное отображение Рⁿ на Рⁿ. Но для этого необходимо и достаточно, чтобы матрица А была квадратной порядка n и ранг r (A) которой равен n. Поэтому обратная матрица существует только для квадратной матрицы А ранг r (A) и порядок n которой одинаковы.

Определение. Квадратная матрица, представляющая обратное отображение для матрицы А, называется обратной матрицей для матрицы А и обозначается А^{- 1}; матрица А^{- 1} является симметричным элементом для матрицы А относительно умножения.

Действительно, пусть задано взаимно однозначное отображение пространства Рⁿ на Рⁿ. Обратным отображением для него будет , поэтому А^{- 1} А = Е_n; точно так же АА^{- 1} = Е_n и, следовательно, АА^{- 1} = А^{- 1} А = Е_n. Если А^{- 1} существует, то говорят, что матрица А обратима. Обратно, если А – обратимая матрица, то отображение взаимно однозначно.

Пусть А и В – две обратимые матрицы порядка n; в силу ассоциативности

АВВ^{- 1} А^{- 1} = А (ВВ^{- 1}) А^{- 1} = АЕ_nА^{- 1} = (АЕ_n)А^{- 1} = АА^{- 1} = Е_n.

Следовательно, (АВ)(В ^-1 А ^-1) = Е_n, а значит, произведение двух обратимых матриц – есть матрица обратимая и (АВ)^-1 = В ^-1 А ^-1.