Теоретический материал. Среди геометрических прогрессий особый интерес представляют так называемые бесконечно убывающие геометрические прогрессии

Среди геометрических прогрессий особый интерес представляют так называемые бесконечно убывающие геометрические прогрессии.

Начнем с примера. Рассмотрим квадраты, изображенные на рисунке 1. Сторона первого квадрата равна 1, сторона второго равна , сторона третьего - и т.д.

Рис. 1 Квадраты с различными длинами сторон

Таким образом стороны квадрата образуют геометрическую прогрессию со знаменателем :

(1)

Площади этих квадратов образуют геометрическую прогрессию со зна­менателем :

(2)

Из рисунка 1 видно, что стороны квадратов и их площади с возрастанием номера п становятся все меньше, приближаясь к нулю. Поэтому каждая из прогрессий (1) и (2) называется бесконечно убывающей.

Рассмотрим теперь геометрическую прогрессию

Знаменатель этой прогрессии , а ее члены и т. д.

С возрастанием номера п члены этой прогрессии приближаются к нулю. Эту прогрессию также называют бесконечно убывающей. Отметим, что модуль ее знаменателя меньше единицы: .

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы.

Сумма бесконечно убывающей прогрессии есть предел последовательности

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле

(3)