Теоретический материал. Пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие определенное действительное число: числу 1 соответствует число

Пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие определенное действительное число: числу 1 соответствует число , числу 2 - число , числу 3 – число , …, числу – число и т.д. Тогда говорят, что задана числовая последовательность, и пишут: , , , …, . Иначе можно записать . Числа , , , …, , … называются членами числовой последовательности: - первый член, - второй член,..., - п- й член последовательности.

Имеется три основных способа задания последовательности.

1. Аналитический - последовательность задается формулой п- го члена. Например, формулой задается последовательность .

2. Рекуррентный - любой член последовательности, начиная с некоторого, выражается через предшествующие члены. При этом способе задания последовательности указывают ее первый член (или несколько начальных членов) и формулу, позволяющую определить любой член последовательности по известным предшествующим членам.

Пример. .

Имеем ;

;

; …

В итоге получаем последовательность 1,1,2,3,5,8,…

Каждый ее член, кроме первых двух, равен сумме двух предшествующих ему членов.

3. Словесный - задание последовательности описанием.

Последовательность называется возрастающей, если каждый ее член меньше следующего за ним, т. е. если для любого п. Последовательность называется убывающей, если каждый ее член больше следующего за ним, т. е. если для любого п.

Рассмотрим примеры:

1) 1, 4, 9, 16, 25,..., ,...- возрастающая последовательность.

2) -1; -2; -3; -4; …;- , … - убывающая последовательность.

3) 3, 3, 3, 3, …, 3, … - здесь мы имеем постоянную или стационарную последовательность.

Последовательность , каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом , называется арифметической прогрессией. Число - разность прогрессии.

Свойства арифметической прогрессии

1. Формула -го члена арифметической прогрессии:

2. Формулы суммы, первых членов арифметической прогрессии:

Здесь .

3. Характеристическое свойство арифметической прогрессии: последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

Последовательность , первый член которой отличен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число , называется геометрической прогрессией. Число - знаменатель прогрессии.

Свойства геометрической прогрессии.

1. Формула -го члена геометрической прогрессии:

2. Формулы суммы первых членов геометрической прогрессии:

Здесь ; если , то .

3. Характеристическое свойство геометрической прогрессии: последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого связан с предыдущим и последующим членами формулой