Модели с двумя уравнениями

Модели с одним и с двумя уравнениями сохраняют аппрок­симацию турбулентной вязкости Боуссинеска, но отличаются по одной важной особенности: модели с одним уравнением не­полны, поскольку они связывают линейный масштаб турбулент­ности с некоторым характерным размером потока. Модели с двумя уравнениями имеют уравнение для расчета линейного масштаба турбулентности или его эквивалента и таким образомзамкнуты.

Одной из моделей турбулентности с двумя уравнениями явля­ется
k -e модель. В этой модели коэффициент турбулентной вязкости m _t выражается через кинетическую энергию турбулентности в виде

,

С _m = 1,44 – эмпирическая константа;

k – турбулентная кинетическая энергия. Этот параметр отве­чает за генерацию турбулентных пульсаций:

– для изотропной турбулентности.

e – скорость диссипации турбулентной кинетической энер­гии. Этот параметр отвечает за рассеивание турбулентных пуль­саций:

– для изотропной турбулентности.

При определении параметров турбулентности k и e использу­ются два дифференциальных уравнения в частных производных. Уравнение переноса турбулентной кинетической энергии имеет вид:

Уравнение переноса скорости диссипации турбулентной кинети­ческой энергии имеет вид:

В этих уравнениях обозначения такие же, как и в уравнениях представленных ранее;

а, , , , , , , , – эмпирические постоян­ные. Значение этих констант определено из анализа эксперимен­тальных данных и под­ходит для большого количества задач по моделированию течений.

Модели k -e, которые используют линейную зависимость ме­жду напряжениями Рейнольдса и деформациями классифициру­ется как линейные модели; в противном случае, классифициру­ются как нелинейные.

Все линейные модели не учитывают анизотропные эффекты. Нелинейные модели могут оказаться более применимыми для потоков, где существуют анизотропия, градиенты интенсивности турбулентности.

11.6.3. Модели напряжений Рейнольдса
(модели замыкания второго порядка)

Модели основаны на решении транспортного уравнения для каждого из независимых напряжений Рейнольдса в комбинации с e- или w- уравнением. Эти модели предлагают более широкую платформу моделирования и объясняют определенные эффекты из-за их точной формы описания турбулентности. Некоторые из этих моделей имеют хорошую результативность при моделирова­нии вихрей и систем вращения. Также эти модели являются под­ходящими для расчета параметров течения в зонах обратных то­ков.

Модели напряжений Рейнольдса определяют напряжения Рейнольдса напрямую используя уравнение формы:

; (15)

где C_ij – конвективный член, D_ij – диффузионный член, P_ij – «тензор порождения», Ф_ij – тензор «перераспределения» давле­ний – деформации, и ρε_ij – диссипативный член.

Конвективный член. Конвективный член C_ij задается следую­щим образом:

.

Диффузионный член. Диффузионный член D_ij задается сле­дующим образом:

.

Эта форма учитывает как трехкомпонентную корреляцию скорости, так и корреляции скорость–давление и должна моде­лироваться. Вообще предполагается, что вклады корреляций ско­рость–давление ( и ) в диффузию зависят от трехкомпо­нентной корреляции скорости . Если пренебречь этими членами, задача моделирования диффузии по существу сводится к моделированию . В данной системе использованы два подхода для вычисления D_ij:

1. Обобщенная гипотеза градиентной диффузии. Для описания анизотропии диффузии, Дали и Харлоу [6] предложили модель турбулентной диффузии родового скаляра f, то есть.

.

Ее применение к трехкомпонентной корреляции скорости дает

;

где С_s – коэффициент с заданным, по умолчанию, значением 0.22.

2. Гипотеза турбулентной вязкости (EVH). Лаен и Лесчзайнер [7] использовали ту же самую концепцию изотропной диффузии, которая используется в стандартной « k-e» модели [8], чтобы вы­вести известное выражение

;

где µ_eff рассчитывается по формуле

.

Генерационный член. Генерационный член Р_ij задается сле­дующим образом:

.

Это выражение не требует никаких аппроксимаций, по­скольку определяется решением уравнения (15), и гради­енты скорости известны.

Диссипативный член. Тензор диссипации, который появля­ется в уравнении (15), получен, в предположение изотропной диссипации, когда ε_ij определяется как

;

где ε определяется вариантом уравнения, использованного в стандартной «k-e» модели.

Член давления-деформации. Точное выражение для этого члена

.

Он выполняет две основных функции:

1. Переводит нормальные напряжения в энергию турбулент­ности

2. Обеспечивает снижение напряжений сдвига, поскольку турбулентность имеет тенденцию к изотропии.

Этот член имеет большое значение при любых распределе­ниях напряжений Рейнольдса и его моделирование является ключевым для успешного замыкания модели.