История создания моделей турбулентности и их классификация

Самые ранние попытки разработки математического описа­ния турбулентных напряжений были предприняты в 1887 году, когда были изданы результаты исследований Буссинеска по тур­булентной вязкости. Затем в 1895 году была издана работа Рей­нольдса по исследованию турбулентности, которая оказала большое влияние на развитие гидрогазодинамики [3].

В начале 20 века, в 1904 году, состоялось открытие Прандтлем пограничного слоя. Сосредоточившись на турбулентных потоках, Прандтль в 1925 году ввел длину пути смешения (аналог средней длины свободного пробега молекул) и представил методику для вычисления турбулентной вязкости как функции длины пути смешения. Гипотеза длины пути смешения, близко связанная с понятием турбулентной вязкости, фактически сформировала ос­нову для исследования и моделирования турбулентности в тече­ние следующих двадцати лет. Важный вклад был сделан не­сколькими исследователями, наибольший из которых сделал Кар­ман. Модель длины пути смешения в современной терминологии, называется алгебраической моделью или моделью нулевого по­рядка турбулентности. По определению, n -моделью называют мо­дель, которая требует решения n дополнительных дифференци­альных уравнений переноса в дополнение к тем, которые выра­жают сохранение массы, импульса и энергии.

Чтобы улучшить способность предсказать свойства турбу­лентных течений и разработать более реалистическое математи­ческое описание турбулентных напряжений, Прандтль в 1945 году предложил модель, в которой турбулентная вязкость зависит от кинетической энергии турбулентных пульсаций k. Он предложил дифференциальное уравнение, аппроксимирующее реальное рас­пределение k. Таким образом, родилось понятие модели с одним уравнением турбулентности.

Имея турбулентную вязкость, которая зависит от хронологии потока (изменение течения потока во времени), возникла по­требность создать более физически-реалистичную модель, опре­делив линейный масштаб турбулентности. О линейном масштабе турбулентности можно говорить как о характерном размере вихря, так как его величина различна для каждого потока. Мо­дели турбулентности, которые не учитывают линейный масштаб турбулентности неполны. Т.е., чтобы получить верное решение, используя модели с одним уравнением, мы должны заранее иметь как можно больше информации о структуре потока, кроме наличия начальных и граничных условий.

Детализируя сказанное, неполная модель определяет линей­ный масштаб турбулентности путем осреднения параметров по­тока, например, толщину вытеснения δ ^* для пограничного слоя. Однако, в этом примере для получения точного решения, необ­ходим различный линейный масштаб турбулентности, который не вычисляется в моделях с одним уравнением.

Наиболее подходящий тип модели турбулентности был бы тем, который соответствовал данному турбулентному потоку, и не было необходимости в знании структуры потока, кроме установ­ления начальных и граничных условий. Модель соответствующую данному определению называют полной. Это определение не под­разумевает ничего относительно точности или универсальности модели, кроме того, что она может использоваться, для расчета турбулентного течения без необходимости знания предваритель­ной информацию о структуре потока.

Колмогоров в 1942 году ввел первую полную модель турбулентно­сти. В дополнение к имеющемуся уравнению для k, он ввел вто­рой параметр ω, который называл как "коэффициент рассеяния энергии в единице объема и времени". Обратная величина ω служит масштабом времени турбулентности, в то время как k ^1/2 / ω служит аналогом длины пути смешения. В этой модели, извест­ной как k-ω модель, ω рассчитывается по дифференциальному уравнению, подобному уравнению для k. Модель таким образом называют моделью с двумя уравнениями турбулентности. В то время когда эта модель открыла большие возможности для моде­лирования турбулентности, ей не нашлось применения из-за от­сутствия компьютеров до следующей четверти 20 века.

Ротта в 1951 году положил начало моделям турбулентности, которые не требуют использования аппроксимации Буссинеска. Он изобрел форму для дифференциального уравнения, управ­ляющего поведением тензора, который представляет собой тур­булентные напряжения, то есть, тензор напряжений Рейнольдса. Этот подход называют замкнутым выражением момента инерции или вторым порядком (модели напряжений Рейнольдса). Такие модели автоматически учитывают эффекты усложнения течения, типа искривлений линии тока, вращения твердого тела и массо­вых сил. Это существенное отличие от моделей турбулентной вязкости, которые не в состоянии должным образом объяснить эти эффекты. Для трехмерного течения, модель замкнутого вы­ражения второго порядка имеет семь уравнений, одно для ли­нейного масштаба турбулентности и шесть для компонентов тен­зора напряжения Рейнольдса. Как и k-ω модели Колмогорова, мо­дели замкнутого выражения второго порядка на тот момент вре­мени, не были востребованы из-за отсутствия необходимой ком­пьютерной техники.

Таким образом, к началу 50-х годов 20 века, развились четыре основных направлений моделей турбулентности [3]:

1. Алгебраические модели (нулевое уравнение);

2. Модели с одним уравнением;

3. Модели с двумя уравнениями;

4. Модели напряжений Рейнольдса.

После 70-х годов 20 века в связи с интенсивным развитием компьютерной техники, появилась возможность расчета по не­скольким направлениям моделирования турбулентности:

1. Прямое численное моделирование;

2. Крупновихревое моделирование.

Классификация моделей турбулентности представлена на рис. 11.2.

Рис. 11.2. Классификация моделей турбулентности