Алгебраические модели и модели с одним уравнением

Самые простые из всех моделей турбулентности известны как алгебраические модели. Они основаны на решении уравнений для кине­тической энергии турбулентности

Эти модели используютаппроксимацию турбулентной вязко­сти Боуссинеска, чтобы вычислить тензор напряжения Рей­нольдса как продукт турбулентной вязкости и среднего тензора коэффициента деформации. Для вычислитель­ной простоты, тур­булентная вязкость, в свою очередь, часто вы­числяется в опреде­лении длины смешивания, которая походит на среднюю длину свободного пробега в газе. Мы обнаружим, что, в отличие от мо­лекулярной вязкости, которая является свойством жидкости, турбулентная вязкость (и следовательно длина смешивания) за­висит от течения. Поскольку турбулентная вязкость и длина смешивания зависят от особенностей течения, они должны быть известны заранее. Таким образом, алгебраиче­ские модели, по определению, неполные модели турбулентности.

Модель турбулентности нулевого порядка применяется для исследовании течении, в которых турбулентный перенос глав­ным образом осуществляется в поперечном направлении. Назва­ние модели связано с тем, что для замыкания системы исходных уравнений не требуется никаких дополнительных дифференци­альных уравнений.

Использование моделей турбулентности нулевого и первого порядков значительно упрощает анализ турбулентных течений. Эти модели позволяют достаточно точно определить коэффици­ент трения xтр и число Нуссельта Nu_D для турбулентных течений в трубах и на плоских пластинах [5].

Определяющие уравнения для стационарного течения в по­граничном слое можно вывести, упростив систему уравнений (4) – (7):

(8)

U + V = n – , (9)

U + V = n – (10)

Сравнивая напряжения Рейнольдса с напряжениями, обу­словленными молекулярной вязкостью, в уравнении (9), естест­венно предположить, что напряжения Рейнольдса изменяются подобно вязким напряжениям. Можно принять, что эти напря­жения турбулентного трения прямо пропорциональны градиенту средней скорости ди/ду. Прандтль, который впервые ввел модель нулевого порядка, предположил, что

. (11)

Следовательно,

(12)

где знак минус учитывает факт, что значение u' обычно свя­зано со значением с противоположным знаком; коэффициент n _t соответствует коэффициенту молекулярной вязкости ламинар­ного течения и называется поэтому коэффициентом «кажущейся», или «турбулентной», вязкости; эта вязкость опре­деляется как

. (13)

Подстановка соотношения (13) в уравнение (9) дает

U + V = (14)

В некоторых случаях сумму коэффициентов молекулярной и турбулентной вязко обозначают как n_eff. Таким образом, уравне­ния (8),(13) и (14) составляют замкнутую систему с тремя неиз­вестными u, v и n _t. Для дискретизации этих дифференциальных уравнений в частных производных по y можно воспользоваться, например, методом контрольного объема.