Евклидово пространство

В арифметическом пространстве Rⁿ по аналогии с геометрическим пространством вводится понятие “расстояния” между точками М ₁ = (х ₁, х ₂, ..., х_n) и М ₂ = (у ₁, у ₂, ..., у_n), обозначаемое d (М ₁, М ₂). Если это “расстояние” определяется формулой

d (М ₁, М ₂) = Ö (у ₁ –х ₁ )² + (у ₂ –х ₂ )² +... + (у_n –х_n )², (3.1)

то такое арифметическое пространство называется евклидовым. В этом случае для n £ 3 “ расстояние” между точками в арифметическом пространстве совпадает с расстоянием между точками в геометрическом пространстве.

В n- мерном евклидовом арифметическом пространстве, как и в геометрическом пространстве, можно вводить понятия “линии”, “фигуры”, “тела” и т.п.

Например. 1. Множество точек М = (х ₁, х ₂, ..., х_n), координаты которых независимо одна от другой удовлетворяют неравенствам

а ₁ £ х ₁ £ в ₁, а ₂ £ х ₂ £ в ₂ , ..., а_n £ х_n £ в_n,

называется замкнутым n -мерным прямоугольным “параллелепипедом” и обозначается так:

[ а ₁, в ₁; а ₂, в ₂; ...; а_n, в_n ] = { M (х ₁, х ₂, ..., х_n ) | а_i £ х_i £ в_i, i = 1, 2, ... n }.

Если имеет место строгое неравенство а_i < х_i < в_i, то “параллелепипед” называется открытым.

При n £ 3 n -мерный прямоугольный “параллелепипед” имеет реальные геометрические представления. Если n = 1 и а £ х £ в, то такой замкнутый одномерный прямоугольный “параллелепипед” называется сегментом, обозначается [ а, в ] и геометрически изображается отрезком. Открытый одномерный “параллелепипед” (а < х < в), называется интервалом и обозначается (а, в).

В случае n = 2 закрытый двумерный прямоугольный “параллелепипед”

(а £ х £ в, c £ y £ d) геометрически представляется прямоугольником со сторонами в – a и d – c.

Трехмерный (n = 3) закрытый прямоугольный “параллелепипед” а £ х £ в, c £ y £ d, f £ z £ l геометрически изображается обыкновенным прямоугольным параллелепипедом со сторонами в – а, d – c и l – f.

2.Множество точек M = (х ₁, х ₂, ..., х_n ), определяемое неравенством

(х ₁ – у ₁⁰)² + (х ₂ – у ₂⁰)² +... + (х_n – у_n ⁰)² £ r ²(или < r ²),

где М ₀ = (у ₁⁰, у ₂⁰, ..., у_n ⁰) есть постоянная точка, а r положительное постоянное число, образует замкнутый (или открытый) n- мерный “шар” радиусом r, с центром в точке М ₀. Иными словами, “шар” есть множество точек М, расстояние которых от некоторой постоянной точки М ₀ не превосходит (или меньше) r. Ясно, что этому “шару” при n = 1 отвечает отрезок, при n = 2 – круг, а при n = 3 – обыкновенный шар.

Открытый “шар” любого радиуса r > 0 с центром в точке М ₀(у ₁⁰, у ₂⁰, ..., у_n ⁰) можно также рассматривать как окрестность радиуса r или r- окрестность этой точки. При n = 1 окрестность точки x ₀ радиуса r представляет собой интервал с центром в этой точке и обозначается (x ₀ – r, x ₀ + r).

Все изложенное в этом параграфе нужно рассматривать как установление лишь некоего геометрического языка; с этим не связано (при n > 3) никаких реальных геометрических представлений, поэтому все геометрические термины, которые употреблялись в смысле, отличном от обычного, мы помещали в кавычках: “расстояние”, “прямоугольный параллелепипед”, “шар”. Впредь мы этого делать уже не будем.