Множество точек координатной плоскости

Пустьна плоскости даны две пересекающиеся координатные оси и указан их порядок расположения на плоскости, например, первая ось х, а вторая − у. Такие оси называются упорядоченными. Точка пересечения осей О принимаетсяза начало отсчета обеих осей координат. Масштабные отрезки у этих осей могут быть различными.

Углом между двумя упорядоченными осями х и у называется угол, на который нужно повернуть ось х к у, чтобы направления обеих осей совпали. Если поворот осуществляется против вращения часовой стрелки, то угол считается положительным, а если по часовой стрелке − то отрицательным. Угол между осями определяется неоднозначно. Если наименьший угол между осями обозначить через j, то угол j + 2 pк, где к Î Z, также будет углом между этими осями. Если нужно найти угол однозначно, то вносят ограничения, рассматривая, например, 0 £ j < 2 p или – p < j £ p.

Определение 1. Две пересекающиеся под углом j упорядоченные координатные оси в точке, принятой за начало отсчета для обеих осей, составляют общую декартовую систему координат на плоскости (рис.1.9,а).

Первая ось Ох называется осью абсцисс; вторая Оу − осью ординат. Плоскость называется координатной и обозначается хОу.

Определение 2. Упорядоченная совокупность двух взаимно перпендикулярных осей координат (j = ± p / 2) с равными масштабными отрезками ОЕ ₁ = ОЕ ₂ = ОЕ и с общим началом координат О на каждой оси называется декартовой прямоугольной системой координат на плоскости.

a) б) в)

E₂ j E j = +p/2 j = -p/2

E

E₁ E E

Рис. 1.9

Если j = + p /2,то система координат называется правой (рис.1.9,б), если j = – p / 2, то система называется левой (рис.1.9,в).

В дальнейшем мы будем пользоваться только правой декартовой прямоугольной системой координат.

Возьмем в координатной плоскости xОy произвольную точку М и проведем через нее прямые, параллельные осям Оx и Оy (рис.1.10). Такая операция называется параллельным проектированием. Точки пересечения этих прямых с осями координат обозначим М ₁ и М ₂, а их координаты − соответственно через х и у. Точки М ₁(х) и М ₂(у) называются проекциями точки М на соответствующие координатные оси (рис.1.10).

у

М₂(у) М(х,у)

Е

0 Е М₁(х) х

Рис. 1.10

В результате операции проектирования точке М поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел (х, у),где х Î R и у Î R и, следовательно, (х, у)Î R ´ R. Эти числа располагаются в порядке следования координатных осей, называются декартовымикоординатами точки М на плоскости и записываются М (х, у).

Легко видеть, что каждой точке М, расположенной в координатной плоскости xОy, соответствует единственная упорядоченная пара чисел (х, у)Î R ´ R. Наоборот, каждой заданной упорядоченной паре чисел (х, у)Î R ´ R соответствует единственная точка М в координатной плоскости xOy. Чтобы найти ее нужно через точки М ₁(х) и М ₂(у)провести прямые, параллельные координатным осям. Точка их пересечения и есть искомая точка М (х, у).

Таким образом, между множеством R ´ R упорядоченных пар действительных чисел и множеством точек координатной плоскости xOy установлено взаимно однозначное соответствие (х, у) ® М (х, у), а значит, множество R ´ R и множество точек плоскости являются эквивалентными множествами.

4.3. Взаимно однозначное отображение множества R ´ R ´ R на множество