Сложная функция. Обратное отображение

Определение 1. Пусть f есть отображение множества D на множество Е (т.е. f (D) = Е), а g − отображение множества Е во множество G. И пусть х Î D, тогда y = f (х)Î Е, и можно рассматривать элемент z = g (у), который принадлежит G. Таким образом, каждому х Î D соответствует z = g [ f (х)] из G, и тем самым определено отображение множества D в G, называемое сложной функцией, или композицией (суперпозицией) отображения f на g и обозначаемое g 0 f (здесь читается справа налево, а не слева на право, ибо g 0 f есть g [ f (х)]), g − называется внешней функцией, а f − внутренней.

Пример. Пусть f: х ® у = f (х) = 2 ^х, где х Î R, у Î R⁺. В этом случае f есть отображение множества R на множество R⁺ и пусть g: y ® z = g (y) = 5 – , где z Î R, и, следовательно, g есть отображение R⁺ в R. Тогда g 0 f: х ® z = g [ f (х)] = = 5 – и g 0 f: R® R.

Операция композиция отображений (0) в общем случае некоммутативна: g 0 f ¹ f 0 g, причем f 0 g может не иметь смысла, поскольку f есть отображение D на Е, а g − отображение Е в G.

Напротив, она ассоциативна: если h есть отображение G в Н, то h 0(g 0 f) = (h 0 g)0 f. Действительно, пусть f (х) = у, g (у) = z, h (z) = w; тогда (g 0 f) (х) = g (у) = z и [ h 0 (g 0 f)] (х) = h (z) = w; точно также [(h 0 g)0 f)] (х) = (h 0 g) (y) = h (z) = w.

Теперь с помощью композиции отображений дадим определение обратного отображения f ^{– 1}к отображению f.

Определение 2. Пусть даны отображения f: D ® Е и y: Е ® D. Отображение y называется обратным к f и обозначается y = f ^{– 1},если y 0 f = f 0 y = е, где е – тождественное отображение: е (х) = х.

Как мы уже говорили, обратное отображение существует, если f −взаимно однозначное отображение. Справедливо и обратное утверждение − если f имеет обратное отображение f ^{– 1}, то это взаимно однозначное отображение.

§4. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОЖЕСТВ R, R ´ R и R ´ R ´ R НА ТОЧЕЧНЫЕ