Точек геометрического пространства в декартовой системе координат

Возьмем три упорядоченные координатные оси Ох, Оу, Оz, которые не лежат в одной плоскости и пересекаются в точке О. Примем эту точку за начало отсчета для всех трех координатных осей. Такая упорядоченная совокупность координатных осей называется общей декартовой системой координатв геометрическом пространстве.

Определение. Упорядоченная тройка попарно перпендикулярных осей координат с общим началом координат О на каждой из них и с одним и тем же масштабным отрезком ОЕ = 1 для каждой координатной оси, называется

декартовой прямоугольной системой координат в геометрическом пространстве (рис.1.11).

M(x,y,z)

M₃(z)

E E

E E M₂(y)

E

E M₁(x)

Рис. 1.11,а Рис. 1.11,б

Первая ось называется осью Ох, или осью абсцисс, вторая – осью Оу, или осью ординат, третья – осью Oz, или осью аппликат. Плоскость, проходящая через две оси из трех Ох, Оу, Oz называется координатной плоскостью; координатных плоскостей – три; они обозначаются так: хОу, yOz и zOx.

Упорядоченная тройка координатных осей, не лежащих в одной плоскости, называется правой, если из конца положительного направления оси Oz кратчайший поворот от оси Оx к оси Оу виден против часовой стрелки (рис.1.11,а). В противном случае система координат называется левой (рис.1.11,б). Мы будем пользоваться только правой системой координат.

Пусть М – произвольная точка пространства. Проведем через нее плоскости, параллельные координатным плоскостям (рис.1.11,а). Точки пересечения плоскостей с соответствующими координатными осями обозначим через M ₁, M ₂, M ₃, а их координаты – х, у, z. Такую упорядоченную тройку чисел (х, у, z) Î R ´ R ´ R называют декартовымикоординатами точки М в геометрическомпространстве, а точки M ₁(х), M ₂(у), M ₃(z) – проекциями точки М на координатные оси и записывают M (x, y, z).

Очевидно, каждой точке геометрического пространства соответствует в декартовой системе координат единственная упорядоченная тройка чисел. Справедливо и обратное утверждение: каждой упорядоченной тройке чисел в декартовой системе координат соответствует единственная точка пространства. Чтобы найти ее нужно через точки M ₁(х), M ₂(у), M ₃(z) провести плоскости параллельные соответствующим координатным плоскостям. Прямые пересечения этих плоскостей пересекаются в точке, которая и есть искомая точка M (x, y, z).

Таким образом, в декартовой системе координат установлено взаимно однозначное отображение множества R ´ R ´ R упорядоченных троек действительных чисел на множество точек геометрического пространства: (х, у, z) ® ® M (x, y, z),т.е. можно сказать, что множество R ´ R ´ R и множество точек геометрического пространства эквивалентны. Это отображение осуществляется посредством декартовой системы координат и способа определения координат точки.

В случае произведения R ´ R ´ R ´ ... ´ R, с числом сомножителей n > 3,точечных множеств в геометрическом пространстве, эквивалентных этим множествам, не существует, ввиду отсутствия у нас интуиции пространства с числом измерений, большим трех. Однако, желая распространить геометрические методы и на произведения множеств R, числом большим трех, вводят понятие n- мерного арифметического пространства Rⁿ и при n > 3.