Чисел на множество точек координатной оси

Возьмем прямую линию и зададим на ней положительное направление (обычно оно указывается стрелкой). Тогда противоположное направление будет отрицательным. Такая направленная прямая называется осью. Если на оси выбрать произвольную точку отсчета О и масштабный отрезок ОЕ, то такая ось называется координатной или числовой. Точка О называется началом координат. Обозначаются координатные оси обычно x, y, z или Ох, Oу, Oz _.

Выберем на оси Ох точку М и определим ее положение. Для этого измерим масштабным отрезком ОЕ длину отрезка ОМ. Длина масштабного отрезка принимается равной единице ОЕ= 1. Получим отвлеченное число a Î , которое будет рациональным, если масштабная единица и данный отрезок соизмеримы, и иррациональным, если они несоизмеримы.

Определение.Координатой точки Мна числовой оси, называется число х Î R и равное длине отрезка ОМх = a, если точка М расположена в положительном направлении от начала координат и отрицательному х = – a, если точка расположена в отрицательном направлении от начала координат. Координатой начала координат считается число нуль. Тот факт, что х есть координата точки М,записывается М (х).

В этом случае между множеством R действительных чисел и множеством точек координатной оси Ох можно установить соответствие f: х ® М (х) − это соответствие f будет взаимно однозначным отображением. Каждой точке М координатной оси Ох соответствует единственное действительное число х из R и наоборот, каждому действительному числу х из R соответствует только одна определенная точка М на координатной оси Ох. Таким образом, множество R и множество точек прямой имеют одинаковую мощность и, следовательно, являются эквивалентными. Под отображением f здесь понимается способ определения координаты точки М на координатной оси Ох.

4.2. Взаимно однозначное отображение множества R ´ R на