Типы отображений

Рассмотрим отображение f множества D во множество Е. Совокупность всех образов f (х), где х Î D при отображении f: D ® Е образует подмножество во множестве Е и, как было уже сказано, обозначается это подмножество f (D). Тогда f (D) = { f (х)| х Î D }Ì Е.

Определение 1. Если f (D) =Е, т.е. когда всякий элемент из Е служит образом хотя бы одного элемента из D, то отображение называется наложением (сюръективным) и говорят, что f есть отображение D на Е.

И так, если " y Î Е Þ y = f (х), где х Î D то f – наложение, а Е = f (D).

Определение 2. Отображение, при котором разные элементы множества D имеют различные образы, называется вложением (инъективным), т.е. если х ₁ ¹ х ₂, то и f (х ₁) ¹ f (х ₂).

2.1. Взаимно однозначное отображение

Определение. Отображение, которое является наложением и вложением называется взаимно однозначным (биективным) отображением. Другими словами: всякий элемент х Î D имеет образом некоторый единственный элемент y = f (х)Î Е, а всякий элемент y Î Е имеет прообразом некоторый единственный элемент х Î D.

Для взаимно однозначного отображения операция, обратная к f,является отображением Е на D, так как для " y Î Е образом является единственный элемент х Î D. Такое отображение называется обратным к f и обозначается f ^{– 1}.

Таким образом, отличительной особенностью взаимно однозначного отображения является наличие для него обратного отображения.

Например, отображение f: х ® y = х ³, где х Î R есть отображение R на R и является взаимно однозначным отображением. Обратным отображением для него будет f^{- – 1}: y® х = , где y Î R. Отображение же х ® х ²есть отображение R в R и не является взаимно однозначным. Так как не всякий элемент y Î R является образом некоторого элемента х Î R, а тот элемент y Î R, который является образом, является образом не единственного элемента х Î R: y = −5не является образом " х Î R, а y = 4является образом для х = 2 и х = −2. Поэтому операция , обратная отображению х ® y = х ², отображением не является.

2.2. Счетные множества

Определение 1. Если для множеств D и Е существует хотя бы одно взаимно однозначное отображение D на Е, то говорят, что D и Е имеют одинаковую мощность, а так же, что такие множества эквивалентны.

Понятие мощность служит обобщением обычного понятия счета. Действительно, счет состоит в установлении взаимно однозначного соответствия между множеством объектов и некоторым конечным множеством последовательных целых чисел, начиная с единицы.

Понятие мощность позволяет придать точный смысл понятию множества, имеющего бесконечное число элементов. Такое множество будет определено при помощи следующего свойства: существует хотя бы одно подмножество, отличное от всего множества и имеющее с ним одинаковую мощность. Так, пусть N есть множество натуральных чисел; множество четных чисел составляет часть множества N, отличную от N. Но соответствие n ® 2 n взаимно однозначно; стало быть, эти два множества имеют одинаковую мощность, и значит, N бесконечно.

Определение 2. Множество Е называется счетным, если оно имеет ту же мощность, что и множество N.

Это означает, что существует взаимно однозначное отображение f множества N на Е, т.е. любому n Î N можно поставить в соответствие один и только один такой элемент х Î Е, что х = f (n), а n = f^{- – 1}(х). Обычно элемент из Е, соответствующий n, обозначается через х_n, а n называется индексом. Стало быть, счетное множество есть множество, все элементы которого могут быть наделены натуральными индексами. Заметим, однако, что обратное не верно; множество элементов последовательности может не быть счетным, а быть конечным. Так, последовательность, определенная посредством х_n = 1при любом n, образует множество, состоящее из единственного элемента 1, а значит, это множество конечно и тем самым не может быть множеством той же мощности, что и N.

Пример счетного множества. Множество N ^/четных чисел счетно: действительно, отображение n ® 2 n есть взаимно однозначное отображение N на N ^/.

Теорема. Произведение конечного числа конечных или счетных множеств составляет конечное или счетное множество.

Примем эту теорему без доказательства.

Следствие. Множество Q всех рациональных чисел счетно. Множество R всех действительных чисел − несчетно.