Зубчатые передачи. Зубчатые ряды

Для того, чтобы исключить проскальзывание и увеличить передаваемую мощность, используют зубчатые передачи. Они очень широко применяются в технике; их изучает наука, называемая теорией зубчатых зацеплений.

Для того, чтобы передаточное отношение было постоянным, необходимо, чтобы профили зубьев удовлетворяли некоторым условиям.

Пусть два звена, вращающихся вокруг осей О₁ и О₂, образуют в точке К высшую кинематическую пару (рис.3.22). Очевидно, что относительная скорость должна лежать на касательной t-t к сопряженным профилям, т.к. в противном случае нормальная составляющая относительной скорости привела бы либо к отрыву звеньев друг от друга, либо к внедрению одного звена в другое. Из этого следует, что мгновенный центр скоростей в относительном движении лежит на нормали n-n, проведенной в точке контакта к сопряженным профилям. В то же время мгновенный центр скоростей должен лежать на прямой О₁О₂, соединяющей оси вращения звеньев 1 и 2. Следовательно, мгновенным центром скоростей в относительном движении является точка Р, лежащая на пересечении нормали n-n и линии О₁О₂. В теории зубчатых зацеплений эту точку называют полюсом зацепления.

Из определения мгновенного центра скоростей следует, что относительная скорость в точке Р равна нулю, т.е. V_P1 = V_P2. Следовательно:

(3.43)

Отсюда передаточное отношение i₁₂:

(3.44)

Иными словами, нормаль, проведенная в точке контакта к сопряженным профилям, делит межосевое расстояние в отношении, обратно пропорциональном отношению угловых скоростей. Это – основная теорема зацепления. Для того, чтобы передаточное отношение i₁₂ было постоянным, необходимо, чтобы полюс зацепления занимал постоянное положение. В этом случае центроидами в относительном движении будут являться окружности, которые в теории зубчатых зацеплений называются начальными окружностями. Все размеры, относящиеся к начальным окружностям, помечают индексом w, например: r_w1,r_w2 – радиусы начальных окружностей (рис.3.23, а). Радиусу начальной окружности r_w пропорциональна длина начальной окружности и, следовательно, число зубьев z, которое может на ней разместиться. Поэтому для передаточного отношения справедливо выражение:

(3.44’)

Знак «минус», стоящий перед отношением чисел зубьев ведомого и ведущего колеса, показывает, что в передаче внешнего зацепления ведущее и ведомое колеса вращаются в противоположные стороны, а передаточное отношение – отрицательное.

Расстояние между осями вращения зубчатых колес называют начальным межосевым расстоянием и обозначают а_w. В случае внешнего зацепления:

а_w = r_w1 + r_w2 (3.45)

Учитывая, что r_w1 = O₁P, r_w2 = O₂P, из (3.44) и (3.45) получим:

(3.46)

Для того, чтобы уменьшить габариты передачи, используют колеса внутреннего зацепления: одно колесо вставляется внутрь другого (рис.3.23, б). В этом случае направление вращения ведущего и ведомого колес совпадает, поэтому передаточное отношение – положительное:

(3.44”)

Межосевое расстояние равно разности радиусов начальных окружностей:

а_w = r_w2 - r_w1 (3.47)

Тогда радиусы начальных окружностей равны:

(3.48)

Если r_w2 ® ¥, то начальная окружность превращается в начальную прямую, а зубчатое колесо – в зубчатую рейку. В этом случае получают зубчато-реечную передачу (рис.3.23, в). Поскольку в полюсе зацепления относительная скорость равна 0, то V_P1=V_P2, и

(3.49)

Ряды зубчатых колёс. Из (3.44) следует, что передаточное отношение обратно пропорционально отношению радиусов начальных окружностей колес. В инженерной практике по конструктивным соображениям это отношение не превышает 5 … 7. Для получения большего передаточного отношения зубчатые колеса составляют в ряды зубчатых колес (рис.3.29).

Колесо 1 зацепляется с колесом 2, на валу которого расположено колесо 3. Колесо 3 зацепляется с колесом 4. Передаточное отношение такого ряда равно:

(3.58)

то есть передаточное отношение ряда зубчатых колес равно произведению передаточных отношений отдельных ступеней, входящих в ряд. Из (3.58) видно, что радиус одного из зубчатых колес (r_w3) не влияет на общее передаточное отношение. Такое колесо называют паразитным. Его используют либо для того, чтобы получить заданное межосевое расстояние О₁О₄, либо для получения заданного знака передаточного отношения.

19. Коробка передач. Коробка скоростей. Коробка подач. Пример: четырёхскоростная коробка передач.

20. Вариаторы цепные и ременные. Вариаторы торовые.

Кинематика планетарных механизмов. Примеры.

Существуют зубчатые механизмы, которые позволяют получать большие передаточные отношения при малых габаритах – это планетарные механизмы. Планетарными механизмами называют зубчатые механизмы с подвижными осями колес. Свое название они получили по аналогии с планетами Солнечной системы, которые вращаются вокруг светила. Рассмотрим механизм, представленный на рис.3.30. Колесо с числом зубьев z₁ – центральное или солнечное. Вокруг него вращается колесо с числом зубьев z₂, называемое сателлитом (или планетным колесом). Его вынуждает вращаться вокруг солнечного колеса звено Н, называемое водилом. Сателлит зацепляется также с колесом внутреннего зацепления, имеющим число зубьев z₃.

Найдем число степеней подвижности этого механизма. Поскольку все звенья движутся в параллельных плоскостях, применим формулу Чебышева. Число звеньев N =5, число низших кинематических пар р_н =4, число высших кинематических пар р_в =2:

Это означает, что для того, чтобы механизм был нормальным, надо задать два входа. Если одно из колес жестко связать со стойкой (например, w₃ = 0), то в механизме останется одна степень подвижности (W_пл =3(4–1) –2×3–1×2=1). Планетарные механизмыс неподвижным зубчатым колесом называют эпициклическими. Если в планетарном механизме все колеса подвижные, то такие механизмы называют дифференциальными. В дифференциальных механизмах ведомое звено можно вращать, например, двумя двигателями.

В планетарных механизмах уже нельзя использовать формулы, полученные для определения передаточного отношения ряда зубчатых колес, т.е.

.

При определении передаточного отношения удобно пользоваться методом обращения движения: всем звеньям механизма, включая стойку, сообщается угловая скорость, равная угловой скорости водила w_н и направленная в противоположную сторону. В таком обращенном механизме водило оказывается неподвижным, оси всех колес, включая сателлиты, также неподвижны, т.е. обращенный планетарный механизм стал рядом зубчатых колес. Для него можно записать:

(3.59)

Здесь – передаточное отношение от первого колеса к третьему при неподвижном водиле Н. В формуле (3.59) важно правильно определить знак. Правило следующее: в паре цилиндрических зубчатых колес внешнего зацепления направление вращения ведущего и ведомого колес противоположны, поэтому перед отношением ставится знак «минус»; в паре цилиндрических зубчатых колес внутреннего зацепления направление вращения ведущего и ведомого колес совпадает, поэтому перед отношением чисел зубьев ставится знак «плюс».

Используя выражение (3.59), найдем угловую скорость первого колеса:

(3.60)

Из (3.60), в частности, следует, что для определения угловой скорости w₁ надо задать две угловые скорости: w_н и w₃. В эпициклическом механизме w₃ = 0 (или w₁ = 0).

В общем случае при кинематическом исследовании планетарных механизмов пользуются соотношением, известным под названием формулы Виллиса:

(3.61)

Рассмотрим схему эпициклического механизма, известного под названием редуктора Давида (рис.3.31). В нем 4 зубчатых колеса внешнего зацепления и водило Н. Колесо с числом зубьев z₄ неподвижное. Числа зубьев: z₁=z₃= 100, z₂ =101, z₄ =99. Найдем передаточное отношение от водила Н к колесу 1. Для этого воспользуемся соотношением (3.61):

Учитывая, что w₄ = 0, найдем отношение (т.е. при неподвижном четвертом колесе):

т.е. для того, чтобы первое колесо сделало один оборот, надо повернуть водило H 10 000 раз. Если немного изменить условие: z₂ = z₄ = 100, тогда , т.е. ведомое колесо 1 остается неподвижным. На практике такие большие передаточные отношения трудно получить из-за высоких требований к точности изготовления зубчатых колес. Даже небольшие погрешности при высоких передаточных отношениях приводят к тому, что ведомое колесо ведет себя нестабильно и непредсказуемо: двигается рывками, останавливается и даже начинает вращаться в противоположную сторону! Поэтому обычно передаточное отношение в планетарных механизмах не превышает 150.

Кинематика планетарной коробки передач.

Хотя на кинематических схемах обычно изображают один сателлит, в реальных конструкциях их устанавливают несколько. Это делается для уменьшения нагрузки на колеса и для уравновешивания центробежных сил инерции. При этом следует следить за тем, чтобы один сателлит не накладывался на другой, т.е. чтобы выполнялось условие соседства: расстояние между осями двух соседних сателлитов (рис.3.32) должно быть больше диаметра окружности их вершин:

,

где – радиус окружности вершин сателлита. Пусть k – число сателлитов. В равнобедренном треугольнике 0А₁А₂:

,

где – радиусы начальных окружности соответственно центрального колеса и сателлита. Тогда условие соседства можно записать в виде:

.

В частном случае при использовании несмещенных колес (о них пойдет речь ниже) , где – числа зубьев центрального колеса и сателлита. Для несмещенных колес условие соседства записывают в виде:

.

Сателлиты размещают равномерно, т.е. соблюдением углового шага . Поскольку каждое вновь устанавливаемое колесо должно входить в зацепление с уже установленными колесами, то должно выполняться еще одно соотношение между числами зубьев колес и числом сателлитов, так называемое условие сборки (условие монтажа). Приведем его без вывода для несмещенных колес:

,

где k – число сателлитов, – число зубьев центрального колеса с внешним зубчатым венцом, – число зубьев колеса с внутренним зубчатым венцом, n – целое число.