Матрица преобразования координат (матрица перехода) для поступательной КП. Пример

Пусть звенья s и (s –1) связаны поступательной кинематической парой (рис.2.15), тогда обобщенная координата q_s – поступательное перемещение звена s относительно звена (s –1). Свяжем со звеном (s –1) систему координат 0_s-1x_s-1y_s-1z_s-1, а со звеном s – систему координат 0_sx_sy_sz_s. Для определенности условимся так выбирать систему координат 0_sx_sy_sz_s, чтобы ось 0х_s совпадала с линией относительного перемещения звеньев s и (s –1). Отметим, что в процессе работы механизма углы между звеньями s и (s –1) и соответствующими системами координат не меняются, поэтому А_s-1,s = const; перемещается точка отсчета 0s относительно звена (s –1). Пусть в начальном положении при q_s = 0 система 0_sx_sy_sz_s занимает положение 0_s^*x_s^*y_s^*z_s^*. Начальное положение определяется вектором . Найдем вектор :

(2.53)

Составим матрицу перехода в поступательной паре:

(2.54)

Рассмотрим пример (рис.2.16). Исполнительный механизм промышленного робота состоит из трех подвижных звеньев, связанных тремя кинематическими парами: двумя вращательными и одной поступательной. Из формулы Малышева–Сомова следует, что механизм обладает тремя степенями подвижности: W =6(4-1)-5×3=3. Следовательно, надо задать три обобщенные координаты: q₁, q₂, q₃. Свяжем с каждым из подвижных звеньев локальные системы координат 0₁x₁y₁z₁, 0₂x₂y₂z₂, 0₃x₃y₃z₃ так, как показано на рисунке. Зададим начальное положение каждой из систем координат: 0₁^*x₁^*y₁^*z₁^*, 0₂^*x₂^*y₂^*z₂ ^*, 0₃^*x₃^*y₃^*z₃^*. Для удобства зададим начальное положение звена 1 так, чтобы система координат 0₁^*x₁^*y₁^*z₁^* совпадала с неподвижной системой 0x₀y₀z₀. Зададим конструктивные параметры схемы a, b, c и входные обобщенные координаты q₁, q₂, q₃. Требуется построить функцию положения точки М, принадлежащей третьему звену, или, иначе говоря, найти координаты точки М в неподвижной системе отсчета .

Решение. Положение точки М в системе координат 0₃ х ₃ у ₃ z ₃ можно задать вектором-столбцом:

В соответствии с (2.49):

Составим матрицы перехода:

Для составления матрицы А₁₂ построим табл. 2.4 направляющих косинусов:

Таблица 2.4

	X2	Y2	Z2
X1
Y1		–1
Z1

Тогда матрица перехода Н₁₂ (q₂):

.

Для построения матрицы А_{23 *}(0) составим табл. 2.5 направляющих косинусов:

Таблица 2.5

	X3*	Y3*	Z3*
X2
Y2	–1
Z2

Найдем матрицу перехода :

Подставляя найденные матрицы перехода, получим:

.