Геометрический анализ исполнительных механизмов промышленных роботов

Рассмотрим пространственный механизм со структурой «дерева». Такие модели используется для описания исполнительных механизмов промышленных роботов, грузоподъемных механизмов и т.п.

Для построения функции положения воспользуемся следующим методом. Свяжем с некоторым s -м звеном исполнительного механизма систему координат 0 _sx_sy_sz_s, а со звеном (s –1) – систему координат 0_s-1x_s-1y_s-1z_s-1 (рис.2.13). Составим вспомогательную табличку, в которой укажем косинусы углов между осями s -й и (s –1)-й системами координат (табл. 2.1):

Таблица 2.1

	Xs	Ys	Zs
Xs-1	Cos(Xs-1,Xs)	Cos(Xs-1,Ys)	Cos(Xs-1,Zs)
Ys-1	Cos(Ys-1,Xs)	Cos(Ys-1,Ys)	Cos(Ys-1,Zs)
Zs-1	Cos(Zs-1,Xs)	Cos(Zs-1,Ys)	Cos(Zs-1,Zs)

Обычно для краткости эти косинусы обозначают буквами a (табл. 2.2):

Таблица 2.2

	Xs	Ys	Zs
Xs-1	a11	a12	a13
Ys-1	a21	a22	a23
Zs-1	a31	a32	a33

Элементы этой таблицы имеют следующие свойства:

· Сумма квадратов косинусов в каждой строке равна единице, т.е.

a²₁₁ + a²₁₂ + a²₁₃ = 1;

a²₂₁ + a²₂₂ + a²₂₃ = 1;

a²₃₁ + a²₃₂ + a²₃₃ = 1;

· Сумма попарных произведений равна 0, т.е.

a₁₁ a₂₁+ a₁₂a₂₂ + a₁₃a₂₃ = 0;

a₂₁ a₃₁+ a₂₂a₃₂ + a₂₃a₃₃ = 0;

a₁₁ a₃₁+ a₁₂a₃₂ + a₁₃a₃₃ = 0.

Таким образом, все элементы таблицы не являются независимыми, и их можно выразить через три параметра, например, через углы Эйлера.

Положение s -й системы координат относительно (s –1)-й определяется вектором , связывающим начала систем координат, и матрицейнаправляющих косинусов А_s-1,s, полученной из таблицы направляющих косинусов:

(2.39)

Матрицы А_s-1,s обладают важным свойством. Если А_s-1,s и А_s,s+1 – матрицы направляющих косинусов между осями соответственно (s –1)-й и s -й (первая) и s -й и (s +1)-й (вторая) систем координат, то

А_s-1,s+1 = А_s-1,s А_s,s+1 (2.40)

Пусть на s -м звене имеется некоторая точка М. Соединив ее с точками 0_s-1 и 0_s, построим векторы и . Для них можно записать следующее векторное равенство:

(2.41)

Вектор может быть задан проекциями на оси какой-либо системы координат, например,

(s –1)-й:

(2.42)

Аналогично можно задать вектор проекциями на оси s -й системы координат:

(2.43)

а вектор – проекциями на оси (s –1)-й системы координат:

(2.44)

Используя представления (2.42–2.44), можно записать выражение (2.41) в проекциях на оси (s –1)-й системы координат:

(2.45)

Из (2.45) следует, что, если нам известно положение точки М на s -м звене и положение s -го звена относительно (s –1)-го, то можно получить координаты точки М на (s –1)-м звене. Перемещаясь далее к (s –2)-му, (s –3)-му и т.д. звеньям, можно дойти до стойки и получить координаты точки М в неподвижной системе.

В соотношении (2.45) есть некоторое неудобство, заключающееся в том, что операция умножения матриц чередуется с операцией сложения. Для того, чтобы оставить только операции умножения матриц, обычно вводят четырехмерные векторы-столбцы координат:

, (2.46)

а также блочные матрицы 4х4:

(2.47)

Матрицы H_s-1,s называются матрицамиперехода от s-й системы координат к (s–1)-й системе. Тогда соотношение (2.45) можно записать в виде:

(2.48)

и т.д.

Перемножая последовательно матрицы перехода, можно дойти до неподвижной системы координат:

(2.49)

Здесь – вектор-столбец координат точки М в системе, связанной со звеном n, а – вектор-столбец координат точки М в неподвижной системе. Таким образом, выражение (2.49) дает возможность построить функцию положения некоторой точки в явном виде. Для того, чтобы это сделать, нужно составить матрицы перехода.