Матрица преобразования координат (матрица перехода) для вращательной КП. Пример

Пусть звенья s и (s –1) связаны вращательной кинематической парой (рис.2.14). Обобщенная координата q_s представляет собой угол поворота s -го звена относительно (s –1)-го. Для определенности условимся выбирать систему координат, связанную с s -м звеном, таким образом, чтобы ось 0z _s совпадала с осью вращения во вращательной КП.

Выберем некоторое положение звена s за начальное и обозначим его знаком (*); соответственно s -я система координат в начальном положении будет обозначена 0_s^*х_s^*у_s^*z_s^*. В результате получили три системы координат: 0_s-1x_s-1y_s-1z_s-1, связанную со звеном (s –1), 0_s^*х_s^*у_s^*z_s^*, определяющую начальное положение s-го звена относительно (s –1)-го, и 0_sх_sу_sz_s, связанную с s -м звеном. Угол поворота системы координат 0_sх_sу_sz_s относительно 0_s^*х_s^*у_s^*z_s^* является углом q_s. В соответствии с (2.40) матрица направляющих косинусов А_s-1,s равна:

(2.50)

Матрица А_s-1,s* (0) является постоянной, поскольку начальное положение s -го звена относительно (s –1)-го в процессе работы механизма не меняется. Матрица A_s*,s (q_s) является функцией обобщенной координаты q_s. Для ее построения составим таблицу направляющих косинусов (табл. 2.3).

Таблица 2.3

	Xs	Ys	Zs
Xs*	Cos(qs)	Cos(qs +p/2)	Cos(p/2)
Ys*	Cos(3p/2+ qs)	Cos(qs)	Cos(p/2)
Zs*	Cos(p/2)	Cos(p/2)	Cos(0)

Тогда матрица А_s*,s (q_s) равна:

(2.51)

Матрица P_z (q_s) называется матрицей поворота. Матрица перехода во вращательной кинематической паре примет вид:

(2.52)

Отметим, что в матрице (2.52) переменной составляющей является только матрица поворота (2.51); остальные элементы – постоянные. Начальное положение s^* удобно выбирать так, чтобы матрица A_s-1,s* (0) имела простой вид.

Рассмотрим пример (рис.2.16). Исполнительный механизм промышленного робота состоит из трех подвижных звеньев, связанных тремя кинематическими парами: двумя вращательными и одной поступательной. Из формулы Малышева–Сомова следует, что механизм обладает тремя степенями подвижности: W =6(4-1)-5×3=3. Следовательно, надо задать три обобщенные координаты: q₁, q₂, q₃. Свяжем с каждым из подвижных звеньев локальные системы координат 0₁x₁y₁z₁, 0₂x₂y₂z₂, 0₃x₃y₃z₃ так, как показано на рисунке. Зададим начальное положение каждой из систем координат: 0₁^*x₁^*y₁^*z₁^*, 0₂^*x₂^*y₂^*z₂ ^*, 0₃^*x₃^*y₃^*z₃^*. Для удобства зададим начальное положение звена 1 так, чтобы система координат 0₁^*x₁^*y₁^*z₁^* совпадала с неподвижной системой 0x₀y₀z₀. Зададим конструктивные параметры схемы a, b, c и входные обобщенные координаты q₁, q₂, q₃. Требуется построить функцию положения точки М, принадлежащей третьему звену, или, иначе говоря, найти координаты точки М в неподвижной системе отсчета .

Решение. Положение точки М в системе координат 0₃ х ₃ у ₃ z ₃ можно задать вектором-столбцом:

В соответствии с (2.49) . Составим матрицы перехода:

Для составления матрицы А₁₂ построим табл. 2.4 направляющих косинусов:

Таблица 2.4

	X2	Y2	Z2
X1
Y1		–1
Z1

Тогда матрица перехода Н₁₂ (q₂):

.

Для построения матрицы А_{23 *}(0) составим табл. 2.5 направляющих косинусов:

Таблица 2.5

	X3*	Y3*	Z3*
X2
Y2	–1
Z2

Найдем матрицу перехода :

Подставляя найденные матрицы перехода, получим:

.