Кинематический анализ исполнительных механизмов промышленных роботов

Задачей кинематического анализа является, как отмечалось ранее, определение скоростей и ускорений точек механизма и угловых скоростей и угловых ускорений его звеньев. Для определения скоростей и ускорений продифференцируем функцию положения

(2.49)

по времени:

(2.55)

(2.56)

В выражения (2.55) и (2.56) входят первые и вторые частные производные от матриц перехода. Найдём их:

(2.57)

где .

(2.58)

где .

= const (2.59)

Очевидно, что:

(2.60)

Для определения угловых скоростей может быть использована следующая рекуррентная процедура. Пусть – вектора угловых скоростей в неподвижной системе координат соответственно звеньев m и (m –1), а – вектор относительной угловой скорости звена m относительно звена (m –1). Тогда можно записать:

, m =1, … n (2.61)

Введем векторы-столбцы проекций угловых скоростей на оси локальных систем координат:

(2.62)

Тогда можно записать выражение (2.61) в проекциях на оси (m –1)-й системы координат:

(2.63)

Пусть – матрица направляющих косинусов, тогда . Отсюда:

(2.64)

С учетом (2.64) выражение (2.63) можно записать:

, m =1, … n (2.65)

Таким образом, зная , можно в соответствии с (2.65) последовательно, начиная с первого звена, определить угловые скорости всех n звеньев исполнительного механизма промышленного робота.

Для определения угловых ускорений продифференцируем (2.61) по времени. При этом учтем, что абсолютная производная по времени от вектора равна геометрической сумме относительной производной того же вектора и векторного произведения вектора угловой скорости вращения относительной системы координат на дифференцируемый вектор:

(2.66)

Относительная производная представляет собой вектор относительного углового ускорения . Обозначив – вектор углового ускорения звена m, получив выражения для угловых ускорений:

(2.67)

В соответствии с условленным ранее правилом выбора осей локальной системы координат во вращательной кинематической паре вектор-столбец проекций углового ускорения на оси m -й системы координат представляет собой:

Проецируя (2.67) на оси m -й системы координат и используя соотношение , получим следующее выражение для рекуррентной процедуры отыскания угловых ускорений:

, m =1, …, n (2.68)

Зная относительные угловые ускорения , можно последовательно, начиная с первого звена, определить угловые ускорения всех n звеньев.

Рассмотрим пример (см. рис. 2.16). Определим векторы-столбцы проекций относительных угловых скоростей и относительных угловых ускорений на оси соответствующих локальных систем координат:

; ; ; ; ; .

Воспользуемся формулой (2.65), подставляя последовательно m =1,2,3:

;

;

.

Аналогично определим угловые ускорения звеньев (формула 2.68):

;

;

17. Механизмы с линейной функцией положения. Фрикционные передачи. Ременные передачи. Цепные передачи.

Широко распространены механизмы, функции положения которых могут быть выражены линейной зависимостью:

(3.39)

где φ и q – соответственно выходная и входная координаты, b,i – постоянные. Механизмы с линейной функцией положения обычно называют передачами. Дифференцируя (3.39) по времени, получим:

(3.40)

Отношение i угловых скоростей входного и выходного звена называют передаточным отношением. Появление большого числа передач связано с тем, что угловая скорость вращения выходного вала двигателя обычно значительно больше, чем скорость вращения входного звена исполнительного механизма. В частности, в электродвигателях скорость вращения ротора обратно пропорциональна числу пар полюсов, следовательно, уменьшение скорости вращения ротора ведет к увеличению массы и габаритов двигателя. Поэтому обычно выбирают небольшой двигатель с большой скоростью вращения ротора и добавляют передаточный механизм, понижающий скорость вращения в i число раз.

Рассмотрим следующие передачи:

1. Фрикционные – передачи, в которых движение передается за счет сил трения между звеньями (frictio по-латыни – трение). Ведущий шкив 1 (рис.3.20), вращающийся со скоростью , прижимается усилием Р к ведомому шкиву 2. Сила трения, возникающая в кинематической паре К, приводит во вращение ведомый шкив 2, который начинает вращаться со скоростью . Если в паре К нет проскальзывания, то есть относительная скорость звеньев 1 и 2 в точке К равна 0, то выполняется соотношение:

(3.41)

Обозначив радиусы шкивов r₁ и r₂, перепишем (3.41) в виде:

(3.41’)

Из (3.41’) найдем передаточное отношение i фрикционной передачи:

(3.42)

Точка К – мгновенный центр скоростей в относительном движении. В системе координат, связанной со звеном 1, она описывает траекторию, называемую подвижной центроидой. Очевидно, что эта подвижная центроида является окружностью радиуса r₁. Аналогично подвижной центроидой второго звена является окружность радиуса r₂. Следовательно, передаточное отношение фрикционной передачи обратно пропорционально отношению радиусов подвижных центроид ведущего и ведомого звеньев. Из определения мгновенного центра скоростей и подвижной центроиды следует, что подвижные центроиды катятся друг по другу без скольжения.

Фрикционные передачи не передают большие усилия, поэтому их можно использовать тогда, когда надо предохранить двигатель от перегрузки, возникшей, например, при заклинивании исполнительного механизма. Поскольку сила трения зависит от коэффициента трения, который, в свою очередь, зависит от наличия смазки, то передаваемый крутящий момент нестабилен.

2. Ременные передачи. Ременная передача состоит из ведущего шкива 1, ведомого шкива 2 и ремня 3 (рис.3.21). Для натяжения ремня используется либо перемещение опоры одного из шкивов, либо установка натяжного ролика. Если в передаче нет проскальзывания, а ремень – нерастяжимый, то можно получить соотношение для угловых скоростей ведущего и ведомого шкивов: .

В ременных передачах межосевое расстояние а=О₁О₂ больше, чем во фрикционных. В передаче, показанной на рис.3.21, направление вращение у ведущего и ведомого колес совпадает, в отличие от фрикционной передачи, показанной на рис.3.20.