Решение уравнений геометрического анализа для одноподвижных и многоподвижных механизмов методом Ньютона

Мы ищем решение векторного уравнения

(2.13)

где и Dq₃ – заданные малые приращения, а удовлетворяют уравнению

(2.11)

Для определения можно использовать, по предложению проф. М.З.Коловского, рекуррентную вычислительную процедуру, известную как методНьютона или метод касательных. В соответствии с этим методом (k +1)-е приближение для связывается с k -м приближенным соотношением

k = 1, 2,... (2.14)

Доказано, что в достаточно малой окрестности исходного решения последовательность (2.14) сходится, причем обеспечивается квадратичная сходимость. Выражение

представляет собой матрицу Якоби для системы (2.11), имеющую в рассматриваемом случае следующий вид:

(2.15)

Определитель этой матрицы (якобиан) определяется выражением:

(2.16)

Выражение, стоящее в квадратных скобках, имеет простой геометрический смысл: оно представляет собой проекцию ломаной ВСD на направление, перпендикулярное звену АВ (рис.2.7). Можно показать также, что в двух положениях механизма, соответствующих одним и тем же значениям q₁, q₂, q₃ (рис.2.6), значения якобиана (2.16) одинаковы по значению и противоположны по знаку.

На рис.2.8 дана условная геометрическая интерпретация метода Ньютона, относящаяся к случаю, когда векторы и – одномерные. Для того, чтобы избежать многократного вычисления матрицы , обратной матрице Якоби, можно пользоваться модифицированным методомНьютона (методом секущих), при котором используется процедура, соответствующая формуле:

k=1,2, … (2.17)

где .

Положение механизма, близкое к исходному, не может быть получено описанным выше способом, если определитель матрицы Якоби обращается в ноль. В рассматриваемом примере якобиан (2.16) обращается в ноль в тех положениях, при которых точки А, В и D располагаются на одной прямой (рис.2.9). Это – особое (сингулярное) положение группы АВСD. Основываясь на данном примере, можно дать следующее определение: особое положение группы – такое, в котором якобиан обращается в ноль.

В особом положении два решения уравнения (2.11) сливаются в одно. Естественно, что в окрестностях особого положения оба решения этого уравнения оказываются близкими, и выбор одного из них становится затруднительным. Чем ближе к нулю значение якобиана, тем хуже сходятся последовательные приближения. Однако это еще не все неприятные факторы, связанные с особыми положениями. О них разговор пойдет при рассмотрении других разде

Рис.

лов.