Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки. Ряд а₁+а₂+…+а_n+…называется абсолютно сходящимся, если ряд |а₁|+|а₂|+…+|а_n|+…также сходится, т.е. сходится ряд, составленный из модулей его членов. Ряд а₁+а₂+…+а_n+…называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов.

Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю, когда n–>∞, то: 1) ряд сходится; 2) любой остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого из своих членов и имеет одинаковый с ним знак.

Степенные ряды.

Ряд вида а₀+а₁+а₂x²+…+а_nxⁿ+…, где а_0, а_1, а_{2, …,} а_n … - некоторая числовая последовательность, называют степенным рядом.

Теорема Абеля.

1) Если степенной ряд а₀+а₁+а₂x²+…+а_nxⁿ+… сходится при некотором x=x₀, не равном нулю, то он сходится, и притом абсолютно, при всех x, удовлетворяющих условию |x|<|x₀|; 2) если ряд а₀+а₁+а₂x²+…+а_nxⁿ+… расходится при некотором x=x₁, то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x₁|.