Определение 21)

Рассмотрим две последовательности точек, сходящихся к (0,0):

(0; ) и (;0)

1. = =-1 и -1

2. = =-1 и

23.

(Опр) Функция f(Р), определенная на множестве , называется непрерывной в точке , если =f(

или же, если

f(x,y)= , + непрерывна в (0,0)?

24.

(1,0) (Доказать)

25. (Опр) Частной производной функций нескольких переменных по одной их этих переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращению соответствует независимой переменной, когда это приращение стремиться к 0.

=

Ответ:0

26. (определение 25)

Найти частные производные

=y*2x=4

= =1

27. Функция z=f(x,y) называется дифференцируемой в точке (, ), если ее полное приращение можно представить в виде:

= ( ) , где

бесконечно малая при

- расстояние от (x,y) до ( )

Если функция z=f(x,y) дифференцируема в (), то она непрерывна в этой точке.

Док-во: необходимо проверить, что

= = + + =0

28. Полный дифференциал дифференцируемой функции z=f(x,y) представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращения аргументов

dz= , dx=

z= d

Функция z=f(x,y) называется дифференцируемой в точке (, ), если ее полное приращение можно представить в виде:

= ( ) , где

бесконечно малая при

- расстояние от (x,y) до ( )

Пример: z= -?

29. Как связаны производная по направлению и градиент?

=(grad f(M), ) – скалярное произведение векторов

Произведение по направлению представляет собой скалярное произведение и вектора с координатами () (градиент)

= * *cos

Если , то производная равна 0