Необходимое условие сходимости числового ряда

Теорема 5.1 (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю.

Эквивалентная формулировка: Если предел общего члена ряда не равен нулю.или не сугцествует, то данный ряд расходится.

Доказательство. Пусть данный ряд сходится и его сумма равна S. Для любого натурального п имеем S_n= S_n-₁ + а_п или

A_n=S_n-S_n-1

При п -> infinity обе частичные суммы S_n и S_n-1 стремятся к пределу S, поэтому из равенства следует, что

Подчеркнем еще раз, что мы установили только необходимое условие сходимости ряда, т.е. усдовие, при нарушении которого ряд не может сходиться. С помощью этого признака можно дока­зывать только расходимость ряда