Влияния расположения корней характеристического уравнения системы 2- го порядка на комплексной плоскости на временную характеристику системы

В зависимости от корней характеристического уравнения W_з.с.(р):

Возможны 3 случая;

1) корни вещественные и разные: р₁, р₂. Тогда общее решение имеет вид:

а) Пусть р₁ и р₂ – положительные. Переходный процесс неустойчивый, апериодический.

б) Пусть р₃ и р₄ – отрицательные. Переходный процесс устойчивый, апериодический.

x

x

x р₇ t

p₈

t

t

p₉

х

p₁₁ x

t t

Р₃ р₄ Р₅=Р Р₁ р₂

P₁₂

P₁₀

Р₈

2) корни вещественные и равные; р₅ = р₆ . Тогда решение имеет вид:

Пусть р₅ = р₆=0, тогда , переходный процесс неустойчивый.

3) корни комплексные; Тогда общее решение

Пусть - т.е. чисто мнимые, тогда

, т.е. переходный процесс- незатухающий гармонические колебания.

Пусть р₉ и р₁₀ имеют положительную вещественную часть. Тогда имеем неустойчивый колебательный процесс.

Пусть р₁₁ и р₁₂ имеют отрицательную вещественную часть. Переходный процесс имеет устойчивый колебательный характер.

Выводы:

На действительной оси слева расположены корни устойчивых систем, имеющих апериодические переходные процессы, справа – неустойчивыхсистем. На всей левой полуплоскости расположены корни устойчивых колебательных систем, имеющих затухающие переходные процессы; причем величина определяет интенсивность затухания, а - частоту колебаний переходного процесса.

Аналогично справа расположены корни неустойчивых систем. Мнимая ось является местом расположения корней для систем, находящихся на границе устойчивости, - колебательных или нейтральных.