Теоретический материал. Уравнение первой степени относительно переменных и , то есть уравнение вида при условии, что коэффициенты

Уравнение первой степени относительно переменных и , то есть уравнение вида при условии, что коэффициенты и одновременно не равны нулю, называется общим уравнением прямой.

Уравнение вида называется векторным уравнением прямой. Если его переписать в координатной форме, то получится уравнение .

Каноническое уравнение прямой записывается в следующем виде , где и - координаты направляющего вектора прямой.

Уравнение прямой в отрезках на осях имеет вид , где и - соответственно абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями и .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид , где - угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к оси , а - ордината точки пересечения прямой с осью .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид , где - угловой коэффициент прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и , имеет вид . Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки и , находится из соотношения .

Пример

Задание 1: Построить прямую .

Решение: Найдем точки пересечения прямой с осями и .

Пусть .

Пусть .

Изобразим найденные точки на координатной плоскости и соединим их, таким образом, получим прямую заданную уравнением (рис. 1).

Задание 2: Построить прямую .

Решение: Перепишем уравнение в виде: , то есть и . Таким образом, получаем точки и , прямая проходящая через точки и является искомой (рис. 2).

Задание 3: Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку .

Решение: Вектор коллинеарен искомой прямой. Для составления уравнения прямой используем каноническое уравнение прямой: . Таким образом, подставив в данное уравнение , , , получим искомое уравнение прямой проходящей через начало координат и точку :

.

Задание 4: Составить уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору .

Решение: Пусть - произвольная точка искомой прямой. Вектор перпендикулярен вектору . Так как векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, то есть . Записав произведение этих векторов в координатной форме, получим:

. Уравнение искомой прямой имеет вид .