Теоретический материал. Отрезок называется направленным, если один из его концов считается началом отрезка, а другой – его концом

Отрезок называется направленным, если один из его концов считается началом отрезка, а другой – его концом.

Вектором называется направленный отрезок. Вектор, заданной парой несовпадающих точек, обозначается символом . Точка называется началом, а точка - концом вектора.

Расстояние | | называется диной (модулем) вектора .

Вектор , концы которого совпадают, называется нулевым вектором. Длина нулевого вектора равна нулю.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: .

Скалярное произведение векторов и выражается через их координаты по формуле .

Угол между двумя векторами и находится по формуле .

Если отрезок разделен точкой в отношении , то координаты точки находятся по формулам

, .

Если , то получаются формулы для нахождения координат середины отрезка:

, .

Пример

Задание: Отрезок, концы которого А(-11;1) и В(9;11), разделен в отношении 2:3:5 (от А к В). Найти точки деления.

Решение: Обозначим точки деления от А к В через С и D. По условию , , , и АС:СD:DВ=2:3:5. тогда С делит АВ в отношении ; значит ; ; таким образом точка С имеет координаты (-7;3).

Точка D служит серединой АВ, поэтому ; . Тогда D(-1;6).