![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Тема: Решение систем алгебраических уравнений по правилу Крамера и матричным методом
Цель: Формирование навыков решения СЛАУ по правилу Крамера и матричным методом.
Время выполнения: 2 часа.
Требования к выполнению практической работы:
1.Ответить на теоретические вопросы.
2.Оформить задания в тетради для практических работ.
Пример
Задание: Показать, что система имеет единственное решение и найти его двумя способами: а) по правилу Крамера; б) матричным методом.
Решение: Данная система имеет размер (три уравнения и три неизвестных). Составим матрицу
из коэффициентов при неизвестных:
. Матрица
квадратная
. Вычислим определитель матрицы
, используя формулу его разложения по элементам первой строки:
.
Так как определитель системы , то данная система имеет единственное решение. Это решение можно найти по правилу Крамера:
;
;
, где
- главный определитель системы;
,
,
- вспомогательные определители, которые получаются из главного путем замены соответствующего столбца на столбец свободных членов, и вычисляются аналогично определителю
.
;
;
Отсюда по правилу Крамера имеем:
;
;
.
Решение системы единственно, это совокупность чисел .
Проверка: Подставим найденное решение во все уравнения исходной системы линейных алгебраических уравнений.
Так как все уравнения системы обратились в равенства, то решение найдено верно.
Ответ: .
Решим данную систему матричным способом. Рассмотрим матрицы:
;
;
;
- матрица коэффициентов при неизвестных,
- матрица – столбец неизвестных,
- матрица – столбец свободных членов.
Данную систему можно записать в виде:
;
При умножении матриц каждая строка матрицы умножается на столбец матрицы
и в результате получается соответствующий элемент матрицы
. Таким образом, последняя матричная запись содержит все три уравнения данной системы линейных алгебраических уравнений. Коротко ее можно записать так:
(3.1)
Рассмотрим матрицу , обратную к матрице
. Это такая матрица, которая при умножении на данную матрицу
дает единичную матрицу
:
, где
.
Умножая обе части матричного равенства (3.1) на матрицу слева, получим:
,
, и окончательно имеем:
(3.2)
Формула (3.2) используется для нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений. Предварительно нужно вычислить обратную матрицу. Обратная матрица вычисляется по формуле: (3.3), где
- алгебраическое дополнение всех элементов матрицы
,
- главный определитель системы
.
В нашем примере .
Найдем теперь алгебраические дополнения для всех элементов матрицы :
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируем ее, то есть поменяем местами столбцы и строки с одинаковыми номерами:
.
Обратную матрицу получим по формуле (3.3), умножая каждый элемент последней матрицы на число, равное :
.
Решение системы линейных алгебраических уравнений находим по формуле (3.2) умножением матрицы на матрицу свободных членов
:
=
Отсюда следует, что
,
,
.
Найденное решение было проверено выше, и совпадает с результатом, полученным по правилу Крамера.
Ответ: - единственное решение системы.
Дата публикования: 2015-02-18; Прочитано: 361 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!