Эквивалентные бесконечно малые и бесконечно большие величины

Если , то бесконечно малые и называются эквивалентными.

Эквивалентность бесконечно малых и обозначается так:

.

При любой функции

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. .

Если , то и – эквивалентные бесконечно большие.

Можно показать, что при

.

Этой таблицей эквивалентных бесконечно малых и эквивалентных бесконечно больших часто пользуются при нахождении различных пределов.

Теорема о замене бесконечно малых и бесконечно больших эквивалентными величинами. Предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших не изменится, если каждую из них заменить эквивалентными, т.е. если , – две пары эквивалентных бесконечно малых или бесконечно больших при , то

.

Теорема часто применяется для нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших вместе с таблицей основных эквивалентных бесконечно малых и эквивалентных бесконечно больших.

Пример. Найти предел

Решение.

.

Здесь заменили бесконечно малые и им эквивалентными и .

.

Здесь заменили бесконечно большие и им эквивалентными и .

Ø Сформулируйте и напишите правило вычисления предела суммы, произведения и частного двух функций.

Ø В каком случае бесконечно малые и называются эквивалентными?

Задание. Пользуясь таблицей эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших величин, вычислить пределы:

а) ; б) ; в) ; г) .