Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка

Определение 9.8. Дифференциальным уравнением первого порядканазывается соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:

F (x, y, y ¢) = 0. (9.11)

Примеры дифференциальных уравнений первого порядка:

y ¢ – x ⁴ = 0; x sin y ¢ – ln y = 0; x cos y + (y ¢ – y ²)sin x = 0.

Известно, что всякое уравнение вида может быть графически изображено при помощи кривой линии на плоскости. При этом по заданному значению х это уравнение определяет одно значение у, т.е. мы получаем одну точку на кривой.

Дифференциальное уравнение не связывает непосредственно х с у.

Рассмотрим уравнение первого порядка (9.7)

.

Подстановка некоторого определенного значения х в это уравнение не приводит к значению у; зато когда х и у оба получают заданные значения, определяется значение , т.е. для выбранной точки (х,у) уравнение (9.7) определяет направление, в котором должна проходить интегральная кривая через точку (х,у), если она вообще проходит через эту точку.

Производная y’ является угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой.

у a

b

A S

x

рис.9.1

В любой точке А(х, у) интегральной кривой (рис.9.1) этот угловой коэффициент касательной может быть найден еще до решения дифференциального уравнения.

Т.к. касательная указывает направление интегральной кривой еще до ее непосредственного построения, то при условии непрерывности функции f(x, y) и непрерывного перемещения точки А можно наглядно изобразить поле направлений кривых, которые получаются в результате интегрирования дифференциального уравнения, т.е. представляют собой его общее решение.

Определение 9.9. Множество касательных в каждой точке рассматриваемой области называется полем направлений.

С учетом сказанного выше можно привести следующее геометрическое истолкование дифференциального уравнения:

1. Задать дифференциальное уравнение первого порядка – это значит задать поле направлений.
2. Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение – это значит найти всевозможные кривые, у которых направление касательных в каждой точке совпадает с полем направлений.

Определение 9.10. Линии равного наклона в поле направлений называются изоклинами.

9.2.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными

Рассмотрим уравнение, представленное в виде (9.7). Преобразуем такое выражение далее:

Если оказывается произведением функции переменной х на функцию переменной у, то она может быть записана в виде

(9.12)

В этом случае уравнение (9.7) принимает вид

(9.13)

и называется уравнением с разделяющимися переменными.

Предположим, что f ₂(y) ¹ 0, тогда разделив (9.13) на f ₂(y) и, умножив на dx, получим:

.

В обеих частях полученного уравнения стоят дифференциалы некоторых функций аргумента х. Из равенства дифференциалов этих функций следует, что сами функции отличаются одна от другой на константу.

Применим изложенный метод к задаче об эффективности рекламы.

Пример 9.3. Пусть торговой фирмой реализуется некоторая продукция, о которой в момент времени t = 0 из рекламы получили информацию x ₀ человек из общего числа N потенциальных покупателей. Далее эта информация распространяется посредством общения людей, и в момент времени t > 0 число знающих о продукции людей равно x (t). Сделаем предположение, что скорость роста числа знающих о продукции пропорциональна как числу осведомлённых в данный момент покупателей, так и числу неосведомленных покупателей. Это приводит к дифференциальному уравнению

.

Здесь k – положительный коэффициент пропорциональности. Из уравнения получаем равенство дифференциалов двух функций аргумента t:

.

Интегрируя левую и правую части, находим общее решение дифферен­циального уравнения:

.

В общее решение входит неопределенная константа С. Полагая NC = D, получим равенство:

x/ (N – x) = e^{Nkt + D},

из которого определим функцию x (t):

.

Здесь E = e^–D. Такого вида функция называется логистической, а её график – логистической кривой.

Если теперь учесть, что х (0) = х ₀ и положить х ₀ = N/ a, где a > 0, то можно найти значение константы Е. Логистичеcкая функция примет вид:

.

На рисунке 9.2 приведены примеры логистических кривых, полученных при различных значе­ниях a. Здесь величина N условно принималась за 1, а величина k бралась равной 0,5.

С помощью логисти­ческой функции описыва­ются многие экономические, социаль­ные, технологичес­кие и биологические про­цессы, например, постоян­ный рост продаж, распростра­нение слухов, распространение техни­ческих новшеств, рост популяции определенного вида животных и др.