Примеры. 1) Из 5 ключей 2 подходят к двери

1) Из 5 ключей 2 подходят к двери. Построить ряд распределения (а также F(x) в случае (а)) для числа х выборов ключей до нужного, если ключи выбирают:

а) без возвращения,

б) с возвращением.

Решение.

а) p₁ = 2/5 = 0.4; p₂ = 3/5∙2/4 = 0.3; p₃ = 3/5∙2/4∙2/3 = 0.2;

p₄ = 3/5∙2/4∙1/3∙1/2 = 0.1;

X
P	p1	p2	p3	p4

F(x) построить самостоятельно.

б)

X				…	k	…
P	p1	p2	p3	…	pk	…

p_k = pq^k-1 = 0.4∙0.6^k-1(A – успех – выбор нужного ключа; p(A) = 0.4= p;

q = 1 – p = 0.6.

2) Из 6 ключей 1 подходит к двери. Построить ряд распределения (а также F(x) в случае (а)) для числа Х выборов ключей до нужного, если ключи выбирают:

а) без возвращения;

б) с возвращением. (Решить самостоятельно)

3) Стрелок имеет 4 патрона и ведет стрельбу до:

а) первого попадания;

б) двух попаданий подряд;

в) двух попаданий не обязательно подряд;

г) двух попаданий не обязательно подряд или пока есть такая возможность;

д) двух попаданий подряд или пока есть такая возможность.

Построить ряд распределения числа х выстрелов.

Пусть p – вероятность попадания при каждом выстреле.

Решение.

а)

X
P	p	qp	q2p	q3

Проверка. p + qp + q²p + q³ = 1 – q + q(1 – q) + q²(1 – q) + q³ =

=1 – q + q – q² + q² – q³ + q³;

б)

X
P	pp2	p3	p4

p² = p²; p³ = qp²; p⁴ = pq + pq² + q².

Проверка. p² + qp² + pq + pq² + q² = p² + q² + pq(p + q + 1) = p² +

+ q² + 2pq = (p + q)² = 1;

в) p₂ = p²; p₃ = 2qp²; p₄ = q + 2pq².

Проверка. p² + 2qp² + 2pq² + q² = p² + q² + 2pq(p + q) = (p +q)² = 1;

г) p₂ = p²; p₃ = 2qp²; p₄ = 3pq².

Проверка. p² + 2qp² + 3pq² + q³ = p² + q³ + pq(2p +3q) = p² + q³ + + pq(2 – 2q + 3q) = p² + q³ + pq(2 + q) = p² + q³ + 2pq + pq² =

= p² + 2pq + q²(p + q) = (p + q)² = 1;

д) p₂ = p²; p₃ = p² + 2q²p + q³ = q(p² + 2qp + q²) = q;

p₄ = pq² + p²q = pq.

Проверка. p² + q + pq = p² + 1 – p + p(1 – p) = p² + 1 – p + p – p² = 1.

4) Решить ту же задачу в случаях 3-х (а затем 5-ти) патронов самостоятельно.

5) Два бомбардировщика поочередно сбрасывают бомбы на цель до перво-го попадания. Вероятности попадания в цель первого р = 0.7, а второго –

р = 0.8.

Построить ряд распределения числа х сброшенных бомб, если их боезапас не ограничен.

X					...
P	0.7	0.3∙0.8	0.3∙0.2∙0.8	0.32∙0.2∙0.8	...

…	2n	…
…	0.3n∙0.2n-1∙0.8	…

Провести проверку на распределение.

6) Решить ту же задачу, если у каждого бомбардировщика по 3 бомбы.

7) В урне шары с номерами 1,2,3,4. Вынули наугад 2 шара. Построить ряд распределения суммы х номеров извлеченных шаров и F(x) для с.в. X.

8) В урне 6 шаров с номерами 1,2,3,4,5,6. Шары извлекают наугад без возвращения до извлечения шара с номером >4. Построить ряд распределения числа х номеров извлеченных шаров.

9) Из колоды (52 карты) наугад извлекают 12 карт. Построить ряд распре-деления числа х тузов среди выбранных карт.