Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Доказательство. 5. Функция распределения случайной величины F(x) и её свойства



5. Функция распределения случайной величины F(x) и её свойства

Определение. F(x) = P(X < x), где с.в. Х – случайная величина, х – лю-бое действительное значение.

F(x) – способ задания закона распределения любой случайной величины: дискретной или непрерывной.

Свойства F(x).

1) 0 ≤ F(x) ≤ 1;

2) F(-∞) = 0, F(∞) = 1;

3) F(x) – неубывающая по х;

4) F(x) – непрерывна слева.

Доказательство.

1) Очевидно, так как F(x) – это вероятность события (X < x).

2) F(x) = P(X < x), поэтому F(-∞) = 0 как вероятность невозможного события, а F(∞) = 1 как вероятность достоверного события.

3) Пусть: x1 < x2. Рассмотрим события: A = (X < x1); B = (X < x2);

C = (x1≤ X < x2).

A B

x1 C x2

Тогда B = A + C, где события А и С несовместны, поэтому по аксиоме конечной аддитивности P(B) = P(A) + P(C) или P(X < x2) = P(X < x1) + + P(x1 ≤ X < x2) или F(x2) = F(x1) + P(x1 ≤ X < x2), откуда в силу неотрицательности слагаемого P(x1 ≤ X < x2) следует F(x ) ≥ F(x ), что и утверждалось.

4) Выберем возрастающую последовательность x1<x2<…<xn<…, сходя-щуюся к х (например, x = x – ). Пусть A = {x ≤ X < x}, тогда {A } удовлетворяет аксиоме непрерывности, то есть

Отсюда следует, что = {x ≤ X < x} = (F(x) –

– F(x )) = F(x) – F(x ) = F(x) – F(x–0) = 0, то есть , что и утверждалось.





Дата публикования: 2015-03-29; Прочитано: 189 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.005 с)...