Доказательство. 5. Функция распределения случайной величины F(x) и её свойства

5. Функция распределения случайной величины F(x) и её свойства

Определение. F(x) = P(X < x), где с.в. Х – случайная величина, х – лю-бое действительное значение.

F(x) – способ задания закона распределения любой случайной величины: дискретной или непрерывной.

Свойства F(x).

1) 0 ≤ F(x) ≤ 1;

2) F(-∞) = 0, F(∞) = 1;

3) F(x) – неубывающая по х;

4) F(x) – непрерывна слева.

Доказательство.

1) Очевидно, так как F(x) – это вероятность события (X < x).

2) F(x) = P(X < x), поэтому F(-∞) = 0 как вероятность невозможного события, а F(∞) = 1 как вероятность достоверного события.

3) Пусть: x₁ < x₂. Рассмотрим события: A = (X < x₁); B = (X < x₂);

C = (x₁≤ X < x₂).

A B

x₁ C x₂

Тогда B = A + C, где события А и С несовместны, поэтому по аксиоме конечной аддитивности P(B) = P(A) + P(C) или P(X < x₂) = P(X < x₁) + + P(x₁ ≤ X < x₂) или F(x₂) = F(x₁) + P(x₁ ≤ X < x₂), откуда в силу неотрицательности слагаемого P(x₁ ≤ X < x₂) следует F(x ) ≥ F(x ), что и утверждалось.

4) Выберем возрастающую последовательность x₁<x₂<…<x_n<…, сходя-щуюся к х (например, x = x – ). Пусть A = {x ≤ X < x}, тогда {A } удовлетворяет аксиоме непрерывности, то есть

Отсюда следует, что = {x ≤ X < x} = (F(x) –

– F(x )) = F(x) – F(x ) = F(x) – F(x–0) = 0, то есть , что и утверждалось.