![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
5. Функция распределения случайной величины F(x) и её свойства
Определение. F(x) = P(X < x), где с.в. Х – случайная величина, х – лю-бое действительное значение.
F(x) – способ задания закона распределения любой случайной величины: дискретной или непрерывной.
Свойства F(x).
1) 0 ≤ F(x) ≤ 1;
2) F(-∞) = 0, F(∞) = 1;
3) F(x) – неубывающая по х;
4) F(x) – непрерывна слева.
Доказательство.
1) Очевидно, так как F(x) – это вероятность события (X < x).
2) F(x) = P(X < x), поэтому F(-∞) = 0 как вероятность невозможного события, а F(∞) = 1 как вероятность достоверного события.
3) Пусть: x1 < x2. Рассмотрим события: A = (X < x1); B = (X < x2);
C = (x1≤ X < x2).
A B
x1 C x2
Тогда B = A + C, где события А и С несовместны, поэтому по аксиоме конечной аддитивности P(B) = P(A) + P(C) или P(X < x2) = P(X < x1) + + P(x1 ≤ X < x2) или F(x2) = F(x1) + P(x1 ≤ X < x2), откуда в силу неотрицательности слагаемого P(x1 ≤ X < x2) следует F(x ) ≥ F(x
), что и утверждалось.
4) Выберем возрастающую последовательность x1<x2<…<xn<…, сходя-щуюся к х (например, x = x –
). Пусть A
= {x
≤ X < x}, тогда {A
} удовлетворяет аксиоме непрерывности, то есть
Отсюда следует, что =
{x
≤ X < x} =
(F(x) –
– F(x )) = F(x) –
F(x
) = F(x) – F(x–0) = 0, то есть
, что и утверждалось.
Дата публикования: 2015-03-29; Прочитано: 189 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!