Геометрична властивість мішаного добутку

Теорема 6.2. Модуль мішаного добутку трьох векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах.

Доведення

Нехай на векторах побудовано паралелепіпед (рис. 5.18, 5.19), АМ ­– його висота. Позначимо через кут між векторами і , а через кут між висотою паралелепіпеда і бічним ребром.

Пряма АМ перпендикулярна до основи паралелепіпеда, а, отже, перпендикулярна і до кожного з векторів і . Тому і їх векторний добуток лежить на цій прямій. Якщо базис правий, то лежить на самій висоті і (рис. 5.18), якщо ж ­– лівий базис, то лежить на продовженні висоти і (рис. 5.19).

За означенням мішаного і скалярного добутків векторів маємо

. (7)

Але модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах, тобто .

Якщо має місце перший випадок (рис. 5.18), то тоді . Із прямокутного трикутника АМА ₁ матимемо:

,

де h – висота паралелепіпеда.

У другому випадку (рис. 5.19) , тому

.

Аналогічно із прямокутного трикутника АМА ₁ . Отже, в обох випадках .

Повертаючись до формули (7), матимемо:

,

тобто

,

що й треба було довести.

Користуючись цією теоремою, можна знаходити об’єм тетраедра, якщо відомі координати його вершин.

Задача. Тетраедр задано координатами його вершин , , , у прямокутній системі координат. Знайти його об’єм.

Розв’язання

Введемо вектори

,

,

.

(рис. 5.20).

Об’єм тетраедра дорівнює шостій частині об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах. Отже,

(8)

Приклад 1. Відомо, що . Обчислити значення виразу .

Розв’язання

Використовуючи властивості 1-5 мішаного добутку векторів, матимемо:

=

= .

Приклад 2. Знайти довжину висоти АН тетраедра ABCD, якщо задані координати його вершин у прямокутній системі координат: (рис. 5.21).

Розв’язання

За формулою (8)

.

З другого боку

, (9)

де

(використано формулу (3) § 5).

Підставивши знайдені величини у (9), обчислюємо :

.

Відповідь. АН= 3.

§ 7. Поняття про рівняння поверхні і лінії в просторі

Нехай у просторі задана деяка система координат.

Означення 7.1. Говорять, що фігура Ф задана аналітичними умовами (рівнянням, системою рівнянь, нерівністю, системою нерівностей тощо), якщо координати будь-якої точки фігури Ф задовольняють ці умови, і будь-яка точка, координати якої задовольняють ці умови, належать фігурі Ф.

Приклад 1.

Фігура задана системою нерівностей у прямокутній системі координат

є прямокутним паралелепіпедом (рис. 5.22).

Основними об’єктами вивчення аналітичної геометрії в просторі є поверхні і лінії. Поверхні в просторі найчастіше задаються рівняннями, а лінії – системами рівнянь.

Означення 7.2. Рівняння

(1)

називається рівнянням поверхні Ф (рис. 5.23), якщо виконані такі умови:

1) координати будь-якої точки М цієї поверхні задовольняють це рівняння;

2) точка, координати якої задовольняють рівняння (1), належить поверхні Ф.

Рівняння (1) є рівнянням поверхні в неявній формі. Якщо з цього рівняння можна визначити одну із змінних, наприклад z, то дістанемо рівняння поверхні у явній формі:

. (2)

Поверхня може задаватись також параметрично за допомогою двох незалежних параметрів u i υ:

(3)

Приклад 2. Нехай у просторі задана сфера радіуса з центром у точці відносно деякої прямокутної системи координат. Вивести рівняння сфери.

Розв’язання

Нехай – довільна точка сфери (рис. 5.24). Тоді відстань СМ за формулою (1) § 2 дорівнює:

Піднісши обидві частини цієї рівності до квадрата, отримаємо

. (4)

Отже, координати будь-якої точки даної сфери задовольняють рівняння (4).

З іншого боку, якщо координати деякої точки М задовольняють рівняння (4), то, добувши квадратний корінь з обох частин (4), дістанемо:

А це означає, що , тобто точка М належить сфері.

Отже, рівняння (4) і є рівнянням сфери радіуса R з центром у точці .

Приклад 3. Розглянемо кругову циліндричну поверхню, вісь якої збігається з віссю аплікат прямокутної системи координат OXYZ. Координатна площина OXY перетинає цю поверхню по колу з центром у початку координат і радіусом R.

Нехай – довільна точка циліндричної поверхні (рис. 5.25). Проведемо через точку М твірну циліндра ММ ₁, де М ₁ – точка її перетину з площиною ОXY. Тоді координати точки , .

Позначимо через u орієнтований кут між додатним напрямом осі ОX і радіус-вектором точки М ₁. Тоді

Аплікату z точки М позначимо через υ. Тоді матимемо такі параметричні рівняння:

(5)

де .

Отже, координати будь-якої точки описаної циліндричної поверхні задовольняють рівняння (5). Очевидно, що і навпаки: якщо координати деякої точки задовольняють рівняння (5) при певних значеннях параметрів u і υ, то ця точка лежить на даній циліндричній поверхні. Тому (5) – це параметричні рівняння циліндричної поверхні.

Якщо перше і друге рівняння системи (5) піднести до квадрата і додати, то матимемо:

або

(6)

Рівняння (6) – це рівняння цієї ж поверхні у неявній формі.

Якщо в просторі задано дві поверхні, що перетинаються (рис. 5.26), своїми рівняннями і , то лінія їх перетину задається системою рівнянь:

(7)

Система рівнянь (7) задає лінію, якщо координати будь-якої точки лінії задовольняють цю систему рівнянь, і довільна точка, координати якої задовольняють систему (7), належить цій лінії.

Лінія в просторі може бути задана також параметричними рівняннями, але, на відміну від поверхні, координати точок лінії виражаються через один параметр:

(8)

Приклад 4. Якщо дві сфери, які перетинаються, задано їхніми рівняннями

то рівняння їх кола перетину задається системою:

Приклад 5. Стержень довжиною а, закріплений одним кінцем на осі , перпендикулярний до осі , обертається навколо цієї осі із сталою кутовою швидкістю і одночасно рухається вздовж цієї осі рівномірно із швидкістю b. Лінія, яку описує другий кінець стержня, називається гвинтовою лінією. Скласти рівняння цієї лінії.