Векторний добуток векторів, заданих координатами

Справджується така теорема:

Теорема 5.1. Векторним добутком векторів , , заданих своїми координатами в правому ортонормованому базисі , є вектор з координатами:

. (1)

Доведення

1) Якщо один із векторів або нульовий або ці вектори колінеарні, то за означенням їхній векторний добуток дорівнює . Неважко переконатися, що в цьому випадку вектор , заданий формулою (1), також буде нульовим. Отже, для цього випадку твердження теореми справджується.

2) Припустимо, що вектори і неколінеарні, а кут між ними дорівнює . Тоді

.

Отже, . Оскільки , то , тому звідси маємо

.

Отже, вектор задовольняє першу умову означення векторного добутку.

Покажемо, що . Для цього переконаємося, що скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю:

.

Отже, .

Аналогічно доводиться, що . Таким чином, вектор задовольняє і другу умову означення векторного добутку векторів і .

Доведемо, що трійка векторів має праву орієнтацію. Для цього досить показати, що визначник переходу від базису до базису додатний. Оскільки координати векторів задані в базисі , то цей визначник складається з координат даних векторів:

,

бо і всі три доданки одночасно нулю не дорівнюють.

Отже, трійка векторів має праву орієнтацію.

Таким чином, вектор задовольняє і третю умову означення векторного добутку. Отже, . Теорему доведено.

Якщо вектор розкласти за базисними векторами , то отримаємо:

,

що формально можна записати у вигляді:

. (2)

Користуючись формулою (2), легко довести такі властивості векторного добутку:

Для довільних векторів і довільного числа мають місце рівності:

1) – при перестановці місцями векторів знак векторного добутку змінюється на протилежний (антикомутативність векторного добутку);

2) – число, що стоїть при будь-якому із множників векторного добутку, можна виносити за знак цього добутку (асоціативність відносно множення вектора на число);

3) – дистрибутивність відносно додавання.

Всі ці властивості випливають із формули (2) і відповідних властивостей визначників.