Означення і властивості

Означення 6.1. Мішаним добутком трьох векторів (позначають: або ) називається число, що дорівнює скалярному добутку векторного добутку векторів і на вектор :

. (1)

Теорема 6.1. Мішаний добуток векторів , , , заданих своїми координатами в правому ортонормованому базисі, дорівнює визначнику, складеному з координат цих векторів, тобто:

(2)

Доведення

З властивостей векторного і скалярного добутків векторів маємо:

.

Теорему доведено.

Очевидно, що коли трійка векторів утворює правий базис, то , якщо ж ця трійка векторів утворює лівий базис, то .

Виходячи з цієї теореми і властивостей визначників, легко довести такі властивості мішаного добутку векторів.

Властивість 1. При циклічній перестановці векторів їх мішаний добуток не змінюється:

. (3)

Ця властивість випливає з того, що циклічна перестановка векторів здійснюється внаслідок подвійної перестановки цих векторів, а це означає, що у відповідному визначнику двічі переставляються його рядки і, отже, знак визначника не змінюється.

Властивість 2. При перестановці двох векторів мішаний добуток змінюється на протилежний:

(4)

Ця властивість випливає з того, що при перестановці двох рядків визначника його знак змінюється на протилежний.

Властивість 3. Скалярний множник можна винести за знак мішаного добутку:

. (5)

Ця властивість випливає з того, що спільний для всіх елементів рядка визначника множник можна винести за знак визначника.

Властивість 4. Мішаний добуток векторів дистрибутивний відносно операції додавання:

. (6)

Властивість випливає з відповідної властивості визначника.

Властивість 5. Для того, щоб три вектори і були компланарними, необхідно і достатньо, щоб їх мішаний добуток дорівнював нулю.

Доведення

Необхідність. Дійсно, якщо вектори , компланарні, то вони лінійно залежні. Тоді лінійно залежними будуть і рядки відповідного визначника, за допомогою якого обчислюється мішаний добуток. Отже, цей визначник, а значить, і мішаний добуток, дорівнює нулю.

Достатність. Якщо мішаний добуток векторів дорівнює нулю, то дорівнює нулю і визначник, складений з їхніх координат. Отже, рядки цього визначника лінійно залежні, тоді лінійно залежними будуть і вектори , . Отже, вони компланарні.