Геометрична властивість векторного добутку i її застосування

З означення векторного добутку випливає, що модуль векторного добутку двох неколінеарних векторів дорівнює площі паралелограма, побудованого на заданих векторах.

Дійсно, нехай вектор неколінеарний вектору , кут між ними дорівнює . Побудуємо паралелограм ОАСВ, у якого , тоді (рис. 5.15). Знайдемо площу цього паралелограма:

Ця властивість дозволяє розв’язати таку задачу:

Задача. Трикутник АВС задано координатами його вершин у прямокутній системі координат: , . Знайти площу цього трикутника.

Розв’язання

Добудуємо трикутник АВС до паралелограма ABCD (рис. 5.16). Введемо вектори і . Їх координати:

Площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма:

(3)

Якщо трикутник АВС розміщений у площині ОXY, то . Підставивши ці значення у формулу (3), отримаємо:

Таким чином, якщо трикутник АВС задано своїми координатами , , у прямокутній системі координат ОXY, то його площа обчислюється за формулою

. (4)

Приклад. У прямокутній системі координат ОXY задано трикутник АВС координатами двох вершин і середини сторони АС: . Обчислити площу цього трикутника.

Розв’язання

1-й спосіб

Нехай координати вершини . Очевидно, що (рис. 5.17), тобто точка С ділить відрізок АМ у відношенні . За формулами (4) § 1 маємо:

Отже, координати точки .

За формулою (4) обчислимо площу трикутника АВС:

(кв. од.).

2-й спосіб.

Площі трикутників АВМ і СВМ рівні, бо у них спільна висота, проведена з вершини В, і АМ=СМ за умовою задачі (рис. 5.17). Тому . За формулою (4)

(кв. од.).

Тому

(кв. од.).

Відповідь. кв. од.

§ 6. Мішаний добуток векторів