Метод координат у просторі

§ 1. Афінна система координат у просторі

Розглянемо впорядковану трійку базисних векторів у тривимірному векторному просторі V ₃: . Відкладемо їх від деякої фіксованої точки О (рис. 5.1).

Утворену геометричну систему будемо називати афінною системою координат у просторі.

Точка О називається початком координат, а вектори – координатними векторами.

Проведемо через точку О у напрямку базисних векторів прямі ОX, ОY, OZ відповідно. Ці прямі називаються координатними осями: ОX – вісь абсцис, ОY – вісь ординат, OZ – вісь аплікат. Осі ОX, ОY, OZ є напрямленими прямими, їх напрями задаються напрямками відповідних базисних векторів.

Площини ОXY, OXZ, OYZ, які проходять через координатні прямі, називаються координатними площинами.

Афінну систему координат позначають або ОXYZ.

Нехай – афінна система координат і М – довільна точка простору. Побудуємо радіус-вектор і розкладемо його за базисом , тоді . Числа x, y, z називаються координатами точки М. Записують: . Ці координати мають відповідні назви: х – абсциса, у – ордината, z – апліката.

За цим правилом кожній точці М простору ставиться у відповідність впорядкована трійка чисел х, у, z. Навпаки, кожній впорядкованій трійці дійсних чисел х, у, z можна поставити у відповідність єдину точку М простору. Для цього від початку координат О відкладемо спочатку вектор , потім від точки М ₁ – вектор і, нарешті, – від точки М ₂ – вектор (рис. 5.2). Тоді за правилом многокутника

.

M – шукана точка. Ламану ОМ ₁ М ₂ М нази-вають координатною ламаною точки А.

Зауважимо, що коли у=z= 0, то точка М лежить на осі абсцис, коли х=z= 0 – на осі ординат, а коли х=у= 0 – на осі аплікат; z= 0 – на координатній площині ОXY, у= 0 – на ОXZ, х =0 – на ОYZ; х=у=z= 0 – точка М збігається з точкою О.

Точка М може бути побудована як вершина паралелепіпеда, протилежна вершині О, який побудовано на векторах , , (рис. 5.3).

П р и к л а д. Побудувати точку
(4;–2;2).

Розв’язання

Побудуємо координатну ламану точки А:

, , .

Кінець цієї ламаної є зображенням даної точки А (4;–2;2) (рис.5.4).

Таким чином, введення афінної системи координат у просторі дозволяє встановити взаємно-однозначну відповідність між упорядкованими трійками дійсних чисел і точками простору.

Користуючись введеними поняттями координат точки, розв’яжемо дві типові задачі.

Задача 1. Вектор заданий координатами його початку і кінця , в деякій афінній системі координат. Знайти координати вектора .

Розв’язання

За означенням координат, радіуси-вектори точок і мають ті ж самі координати, що й точки і : , . Але (рис. 5.5). Тому координати вектора такі: .

Отже, щоб знайти координати вектора, треба від координат його кінця відняти відповідні координати початку.

Задача 2. Задано відрізок М ₁ М ₂ координатами його кінців: , . Точка М ділить цей відрізок у відношенні . Знайти координати точки М.

Розв’язання

Позначимо через х, у, z координати точки М. За умовою

. (1)

Але

(2)

(рис. 5.6). Підставимо (2) в (1), дістанемо

. (3)

Оскільки , то із рівності (3) матимемо:

. (4)

Якщо точка М є серединою відрізка М ₁ М ₂, то і, отже,

. (5)

Можна розв’язати і обернену задачу: за відповідними координатами точок М ₁, М ₂ і М знайти відношення , в якому точка М ділить відрізок М ₁ М ₂.

Із формул (4) маємо:

. (6)

Якщо у співвідношеннях (6) порушена хоча б одна рівність, то це означає, що точка М не є точкою поділу відрізка М ₁ М ₂, тобто не лежить на прямій М ₁ М ₂.

§ 2. Прямокутна система координат у просторі

Частинним випадком афінної системи координат є прямокутна декартова, або просто прямокутна система координат. Так називається афінна система координат, у якої базис ортонормований, тобто базисні вектори є одиничними і взаємно ортогональними. Їх позначають . За означенням , .

Така система координат позначається .

У прямокутній системі координат координати точки мають простий геометричний зміст. Хай – координатна ламана точки М (рис. 5.7):

,

де . Тоді точка М ₁ є проекцією точки М на вісь абсцис і, оскільки , то .

, якщо . Тоді , і точка М ₁ належить додатній півосі ОX.

, якщо . Тоді , а точка М ₁ належить від’ємній півосі ОX.

Якщо , то точка М ₁ збігається з точкою О.

Аналогічний геометричний зміст мають ордината і апліката точки М.

Нехай у прямокутній системі координат точки М ₁ і М ₂ мають координати: . Знайдемо відстань між цими точками. Оскільки

і довжина відрізка дорівнює модулю вектора , то

. (1)

Отже, відстань між двома точками, заданими своїми координатами в прямокутній системі координат, дорівнює квадратному кореню із суми квадратів різниць їх відповідних координат.

Приклад. Довести, що трикутник з вершинами в точках , , є рівнобедреним. Система координат прямокутна декартова.

Розв’язання.

Знайдемо довжини сторін цього трикутника:

;

;

.

Оскільки , то трикутник АВС є рівнобедреним з основою АВ.

§ 3. Орієнтація простору

Нехай у тривимірному векторному просторі задано два базиси: і .

Розкладемо вектори базису В за векторами базису А:

Складемо матрицю з коефіцієнтів цього розкладу:

.

Вона називається матрицею переходу від базису А до базису В. Позначимо її визначник А/В:

.

Цей визначник називається визначником переходу від базису А до базису В. Оскільки вектори лінійно незалежні, то

.

Отже, визначник переходу А/В або додатний, або від’ємний.

Означення 3.1. Будемо говорити, що базиси А і В однаково орієнтовані, якщо визначник переходу А/В додатний, і протилежно орієнтовані, якщо він від’ємний.

Відношення однакової орієнтації базисів є відношенням еквівалентності, бо воно володіє властивостями симетричності, рефлексивності, транзитивності. Останні властивості випливають з таких властивостей визначників переходу від одного базису до іншого:

Для будь-яких базисів А, В, С

1) А/А =1;

2) В/А = ;

3) А/В·В/С=А/С.

У такому випадку всі базиси простору можна розбити на два класи еквівалентності: клас базисів, які однаково орієнтовані з даним базисом, і клас базисів, які протилежно орієнтовані з ним. Один з цих класів базисів назвемо право орієнтованим, а другий – ліво орієнтованим.

Означення 3.2. Базис назвемо право орієнтованим, якщо великий, вказівний і середній пальці правої руки можна направити в напрямку відповідних базисних векторів (рис. 5.8 а).

Базис назвемо ліво орієнтованим, якщо базисні вектори будуть напрямленими вздовж відповідних пальців лівої руки (рис. 5.8 б).

Це означення часто називають правилом правої і лівої руки. Його можна замінити правилом годинникової стрілки:

Базис буде правим, якщо поворот від до по найкоротшому шляху здій­сню­ється проти руху годин­никової стрілки, якщо дивитися з кінця век­тора . Якщо цей поворот зді­й­с­нюється за рухом годин­ни­ко­вої стрілки, то цей базис лівий (рис. 5.9 а), б)).

Приклад. У право орієнтованому базисі А задано базисні вектори іншого базису своїми координатами: . Визначити орієнтацію базису В.

Розв’язання.

Складемо визначник матриці переходу від базису А до В і визначимо його знак:

.

Отже, базиси А і В протилежно орієнтовані. Базис А за умовою правий, тому базис В – лівий.

§ 4. Перетворення системи координат

Нехай у просторі задано дві афінні системи координат: і . Першу з них назвемо старою, а другу – новою. Положення нової системи відносно старої задамо координатами нового початку і нових базисних векторів у старій системі:

.

Нехай деяка точка М у старій системі має координати , а в новій – . Виразимо старі координати точки М через нові. Введемо вектори (рис. 5.10).

За правилом трикутника

. (1)

За означенням координат точки і вектора маємо:

Тоді

Підставивши отримані формули у рівність (1), матимемо:

Звідси, за єдиністю розкладу вектора за базисом, маємо:

(2)

Формули (2) і є шуканими формулами, які виражають старі координати точки М через нові. Вони називаються формулами перетворення афінної системи координат.

Матриця, складена із коефіцієнтів цих формул

,

називається матрицею переходу від системи координат до . , бо вектори лінійно незалежні.

Якщо нова система одержується із старої тільки заміною координатних векторів, а початок координат не змінюється, то формули (2) матимуть вигляд:

бо .

Якщо ж здійснюється паралельне перенесення системи координат, то , , . Тоді у старій системі координат вектори матимуть координати , , , а формули (2) запишуться так:

Формули перетворення прямокутної системи координат у прямокутну також мають вигляд (2). Але оскільки вектори у даному випадку одиничні і взаємно перпендикулярні, то сума квадратів елементів кожного стовпця матриці С дорівнює одиниці, а сума добутків відповідних елементів різних стовпців дорівнює 0:

(3)

Квадратна матриця С, яка володіє такими властивостями, називається ортогональною. Знайдемо добуток матриці С і транспонованої з нею матриці . Беручи до уваги співвідношення (3), матимемо

.

Звідси , або . Але , тому , отже, .

Таким чином, визначник матриці переходу від однієї прямокутної системи координат до іншої дорівнює або 1 або –1. Якщо базиси і однаково орієнтовані, то і, отже, . Якщо ж ці базиси протилежно орієнтовані, то .

Приклад. Дано тетраедр ОАВС. Записати формули перетворення координат точок при переході від афінної системи , в якій , до афінної системи , де .

Розв’язання.

Знайдемо координати нового початку А і нових базисних векторів у старій системі координат (рис. 5.11):

,

;

;

.

Підставимо їх у формули (2):

§ 5. Векторний добуток векторів