![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Нехай гіпербола задана рівнянням:
(1)
Означення 2.2. Ексцентриситетом гіперболи називається число
. (2)
У гіперболи
, тому
. Ексцентриситет гіперболи визначає її форму. Дійсно,
, звідки
. (3)
Якщо , то
. У цьому випадку вітки гіперболи розширюються.
Якщо , то
– вітки гіперболи звужуються.
На рис. 4.15 зображено гіперболи з ексцентриситетами де
.
Означення 2.3. Директрисами гіперболи називаються прямі, паралельні до її уявної осі і розміщені на відстані по обидва боки від неї.
Рівняння директрис у канонічний системі координат
.
Директриси лежать між вітками гіперболи, бо (рис. 4.14).
Директриси гіперболи мають таку ж властивість, що й директриси еліпса. Справджується така теорема.
Теорема 2.1. Відношення відстаней від довільної точки гіперболи до фокуса і відповідної директриси є величина стала і дорівнює ексцентриситету гіперболи.
Доведення. Нехай М(х,у) – довільна точка гіперболи (рис. 4.14). Припустимо, що вона лежить на правій вітці гіперболи. Тоді, як показано в §2, ,
, а відстані від цієї точки до директрис
,
.
Тоді
,
,
що й треба було довести.
Аналогічно розглядається випадок, коли точка М лежить на лівій вітці гіперболи.
Теорему доведено.
Приклад. Ексцентриситет гіперболи , центр її лежить у початку координат, одна із директрис задана рівнянням х = –8. Обчислити відстань від точки М1 гіперболи з абсцисою х1=10 до фокуса, що відповідає другій директрисі.
Розв’язання
Оскільки в канонічній системі координат директриси гіперболи симетричні відносно початку координат, то рівняння другої директриси даної гіперболи х = 8. Тоді відстань d від точки М 1 до цієї директриси: . За доведеною теоремою
, тобто
, звідки
.
Дата публикования: 2015-03-29; Прочитано: 1744 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!